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Rango de una matriz. La igualdad de las dimensiones de los espacios fila y columna
en la matriz del ejemplo anterior no es una casualidad, sino una consecuencia del siguiente
teorema, que demostraremos luego.
Teorema 4.10.1. Las dimensiones del espacio fila y del espacio columna de una matriz
A de m × n son iguales:
dim EC(A) = dim EF (A) = r(A)
La dimensión r(A) del espacio fila o columna de la matriz se denomina rango de la matriz.
Nótese que los espacios fila y columna de una matriz no son necesariamente iguales,
tal como se vió en el ejemplo anterior. Sólo sus dimensiones son siempre iguales.
El rango de una matriz es pues el “número de filas linealmente independientes” o el
“número de columnas linealmente independientes”, los cuales siempre coinciden. El rango
no puede entonces superar al mínimo entre el número de filas m y el de columnas n:
0 ≤ r(A) ≤ Min[m, n]
Por ejemplo, si A ∈ R 2×4 ⇒ r(A) ≤ 2.
Si el rango es igual al número de filas m, entonces m ≤ n y las n columnas generan
todo R m×1 , ya que dim EC(A) = m. Si el rango es igual al número de columnas n, entonces
m ≥ n y las m filas generan todo R 1×n , ya que dim EF (A) = n. Resumiendo,
Si r(A) = m (número de filas) ⇒ m ≤ n y EC(A) = R m×1 .
Si r(A) = n (número de columnas) ⇒ m ≥ n y EF (A) = R 1×n .
Podemos verificar el teorema 4.10.1 en el caso particular de matrices cuadradas no
singulares, a partir de los teoremas previos 4.7.2 y 4.7.3:
Corolario 4.10.1
Sea A ∈ R n×n . Si A es no singular (det(A) ≠ 0) tanto las n columnas de A como las n
filas de A son conjuntos linealmente independientes, por lo cual
det A ≠ 0 ⇒ r(A) = n
con EF (A) = R 1×n , EC(A) = R n×1 .
En cambio, si A es singular (det(A) = 0) tanto las n columnas de A como las n filas de
A son conjuntos linealmente dependientes, por lo cual
det A = 0 ⇒ r(A) < n
Demostración. Por el teorema 4.7.2, si A es no singular las n columnas de A son
linealmente independientes, formando entonces una base de R n×1 según el teorema 4.8.1.
Por lo tanto dim EC(A) = n, con EC(A) = R n×1 .
Como det(A T ) = det(A), los mismos resultados son válidos para las filas de A, ya que
las columnas de la matriz traspuesta A T son las filas de A. Por lo tanto, las n filas son
también linealmente independientes, formando entonces una base de R 1×n , por lo que
dim EF (A) = n = dim EC(A), con EF (A) = R n×1 .
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