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5.5.1. Matrices semejantes
Dos matrices A y A ′ de n × n son semejantes si y sólo si existe una matriz no singular
S tal que
A ′ = S −1 AS
Si A ′ es semejante a A, entonces, multiplicando la igualdad anterior por S a izquierda y
por S −1 a derecha, obtenemos
SA ′ S −1 = S(S −1 AS)S −1 = (SS −1 )A(SS −1 )
= A
es decir, A = R −1 A ′ R , con R = S −1 , por lo que A es también semejante a A ′ .
Por lo tanto, las matrices A y A ′ que representan a un operador lineal L en dos bases
distintas son semejantes.
Dos propiedades fundamentales sobre matrices semejantes son las siguientes:
1. Las matrices semejantes tienen el mismo determinante:
det(A ′ ) = det(A)
En efecto,
det(A ′ ) = det(S −1 AS)
= det(S −1 )det(A)det(S)
= (det(S)) −1 det(A)det(S)
= det(A)
Esto implica que el determinante det(A) es una propiedad del operador lineal L
representado por A, permaneciendo invariante frente a cambios de base.
Así, comprobamos en el ejemplo 5.5.1 que det(A ′ ) = det(A) = −1.
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