HELLO

Es decir que M no genera R 3 , sino un subespacio propio S que es un plano que pasa
por el origen, definido por la ecuación
x − 2y + z = 0
Sólo aquellos vectores que están en este plano son generados por M: S = gen(M).
Problemas 4.6 Indique si los siguientes conjuntos generan R 3 :
⎧⎛
⎨
a) M = ⎝
⎩
1
0
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
1
1
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
1
1
1
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
⎛
⎧
⎨ b) M = ⎝
⎩
4.6.1. Conjunto generador minimal
1
0
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
1
1
1
⎞
⎛
⎠ , ⎝
2
1
1
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
Consideremos nuevamente el ejemplo 7) anterior. Para generar un plano sólo se necesitan
dos vectores no nulos y no paralelos pertenecientes al plano, por lo cual, en realidad,
no se necesitan los tres vectores de M para generar S. Uno de ellos es innecesario o
redundante, perteneciendo al plano ya generado por los otros dos.
Para decidir si un conjunto generador M de un espacio vectorial V constituye un
conjunto generador minimal, es decir, sin elementos redundantes, debemos analizar si los
vectores de M dependen linealmente unos de los otros.
Volviendo al ejemplo 7) anterior, podemos observar que ⎝
⎛
Es decir, si v 1 = ⎝
1
1
1
⎞
⎛
⎠, v 2 = ⎝
2
1
0
⎞
⎛
⎠ y v 3 = ⎝
4
3
2
⎞
⎛
4
3
2
⎞
⎛
⎠ = 2 ⎝
1
1
1
⎞
⎛
⎠ + ⎝
2
1
0
⎞
⎠
⎠, tenemos v 3 = 2v 1 + v 2 . Geométricamente,
v 3 está en el plano generado por v 1 y v 2 .
Entonces S = gen(M) = 〈v 1 , v 2 , v 3 〉 = 〈v 1 , v 2 〉, ya que cualquier combinación lineal
de v 1 , v 2 , v 3 puede ser reducida a una combinación lineal de v 1 y v 2 :
α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 = α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 (2v 1 +v 2 ) = (α 1 +2α 3 )v 1 +(α 2 +1)v 2 = β 1 v 1 +β 2 v 2
Podemos reescribir la dependencia de v 3 con respecto de v 1 y v 2 como
2v 1 + v 2 − v 3 = 0
Como ninguno de los tres coeficientes de v 1 , v 2 y v 3 es nulo se puede despejar a cualquiera
de los vectores en función de los dos restantes. Por lo tanto, tenemos también
S = gen(M) = 〈v 1 , v 2 , v 3 〉 = 〈v 1 , v 2 〉 = 〈v 2 , v 3 〉 = 〈v 1 , v 3 〉
En este ejemplo, cualquiera de los tres vectores de M puede ser considerado redundante,
ya que puede ser expresado como combinación lineal de los dos restantes y con
sólo dos vectores se puede generar S. Vemos también que ningun vector es proporcional
a otro. Geométricamente, se trata de tres vectores no paralelos, pero situados en un
mismo plano. Por lo tanto, {v 1 , v 2 , v 3 } no es un conjunto generador minimal de S, pero
{v 1 , v 2 }, {v 1 , v 3 } y {v 2 , v 3 } son conjuntos generadores minimales del plano S.
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