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En particular, para α = 0 la última ecuación implica que toda transformación lineal
L : V −→ W satisface
L(0 V ) = 0 W
con 0 V y 0 W los vectores nulos de V y W , ya que L(0 V ) = L(0v) = 0L(v) = 0 W .
5.1.2. Transformaciones geométricas en R 2
Ejemplos 5.1.1: Transformaciones lineales de R 2 en R 2
Comenzaremos con algunos ejemplos básicos:
1. Transformación de dilatación (escalamiento):
( )
x1
Si x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = es un vector de R
x 2 , definimos, como primer ejemplo,
2
L (x) = 3x =
L es una transformación lineal, ya que
( ) 3x1
3x 2
L (αx) = 3 (αx) = α (3x) = αL (x)
L (x + y) = 3 (x + y) = 3x + 3y = L (x) + L (y)
verificándose que L(0) = 0. Geométricamente, L tiene el efecto de “dilatar” el vector
x, multiplicando su longitud por un factor 3 y conservando su dirección y sentido:
x 2
Lx ⩵ 3x
x
x 1
Figura 5.2: Dilatación (Escalamiento).
Podemos expresar L(x) en forma matricial como (¡verificar!)
( ) ( )
3 0 x1
L(x) =
0 3 x 2
2. Proyección ortogonal sobre el eje x 1 :
Definimos ahora
L (x) = x 1 e 1 =
( )
x1
0
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