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1.3. Sistemas equivalentes
Definición.
Dos (o más) sistemas lineales con el mismo conjunto de variables o incógnitas se dicen
equivalentes sí y sólo sí tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo 1.3.1
(a)
3x 1 + 2x 2 − x 3 = −2
x 2 = 3
2x 3 = 4
(b)
3x 1 + 2x 2 − x 3 = −2
−3x 1 − x 2 + x 3 = 5
3x 1 + 2x 2 + x 3 = 2
Estos dos sistemas de ecuaciones, son equivalentes. Ambos tienen 3 incógnitas y el mismo
conjunto solución: (x 1 , x 2 , x 3 ) = (−2, 3, 2). Observar además, que la primera ecuación
de ambos sistemas es la misma. Mientras que en (a) las restamtes ecuaciones dicen que
x 2 = 3 y x 3 = 2, en (b), si sumamos la primera ecuación a la segunda se obtiene x 2 = 3
y si restamos la primera ecuación a la tercera se obtiene 2x 3 = 4, o sea, x 3 = 2.
Por otro lado, cualquier solución del sistema (a) debe ser también solución del sistema
(b), porque restando en (a) la primera ecuación a la segunda, se obitene la segunda
ecuación del sistema (b), y sumando la primera y tercera ecuación del sistema (a), se
obtiene la tercera ecuación del sistema (b). Es decir, que realizando operaciones algebraicas
sobre las ecuaciones de un sistema, es posible “pasar al otro”.
1.3.1. Operaciones elementales
Definición.
Llamaremos operaciones elementales a las operaciones algebraicas sobre las ecuaciones
de un sistema lineal que no modifican el conjunto solución. Esto quiere decir, que la
aplicación de tales operaciones producen sistemas m × n equivalentes.
Estas operaciones son:
1. Cambiar el orden de dos ecuaciones (permutar dos ecuaciones).
2. Multiplicar una o más ecuaciones por una constante distinta de cero (cambio de
escala de los coeficientes de las ecuaciones).
3. Sumar (o restar) a una ecuación particular el múltiplo de otra ecuación del sistema.
Observación. Multiplicar una ecuación por 0 no está permitido, ya que esto puede
cambiar el conjunto solución (¿por qué?). Y sumar a una ecuación un multiplo de si misma
es obviamente equivalente a multiplicarla por una constante (¡justificar!).
En lo que sigue, utilizaremos estas operaciones elementales para obtener sistemas
equivalentes más fáciles de resolver, tales como los sistemas triangulares.
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