HELLO

con a j la columna j-ésima de A, por lo que la representación matricial de L en
las bases canónicas de R n y R m es precisamente A:
[L] Bc
B c
= (L(e 1 ), . . . , L(e 2 )) = A
( ) a b
Por ejemplo, si A = ,
c d
( ) ( )
a b x1
L(x) =
=
c d x 2
( ) ax1 + bx 2
cx 1 + dx 2
y entonces
L(e 1 ) =
L(e 2 ) =
( ( ) ( a b 1 a
= = a
c d)
0 c)
1
( ( ) ( a b 0 b
= = a
c d)
1 d)
2
por lo que (a 1 , a 2 ) = A.
El problema 5.2.3 implica entonces que la imagen Im(L) de una transformación
lineal L : R n → R m es el espacio columna de A = [L] Bc
B c
(es decir, el espacio generado
por los vectores columna de A) mientras que el núcleo Nu(L) es el espacio nulo de
A.
3. Rotación general en R 2 . Tomemos la transformación L : R 2 −→ R 2 , tal que a cada
vector x lo hace rotar un ángulo θ, en sentido antihorario:
x 2
e 1
x 2
Θ
Lx
x
x 1
Le 2
Θ
e 2
Θ
Le 1
x 1
Figura 5.8: Rotación de ángulo θ.
Tenemos
L (e 1 ) =
( ) cos θ
sin θ
y L (e 2 ) =
( ) − sin θ
cos θ
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