HELLO

x 2
x
x 1
Lx ⩵ x
Figura 5.6: Inversión.
Geométricamente, L (x) es el vector opuesto a x.
Podemos expresar L(x) en forma matricial como
( ) ( )
−1 0 x1
L(x) =
0 −1 x 2
Observar que el operador de inversión puede obtenerse como caso particular de otras
transformaciones. Por ejemplo,
1. La transformación de escala con c = −1
2. Una rotación de ángulo π (en sentido anti-horario o sentido horario)
Esta última puede también lograrse mediante dos rotaciones sucesivas de ángulo π/2 (por
ejemplo, ambas en sentido antihorario): Si R rota al vector x en π/2 antihorario, entonces
(( )) ( )
−x2 −x1
R (R (x)) = R
= = −x
x 1 −x 2
Si definimos el cuadrado L 2 de un operador L (transformación de V en V ) mediante
L 2 (x) ≡ L (L (x))
entonces el operador de inversión L puede expresarse en términos del operador de rotación
previo como
L = R 2
Ejemplos de transformaciones no lineales:
1. Si
obtenemos
F (x) = −x 1 x 2 e 1 + x 2 e 2 =
( ) −x1 x 2
x 2
( ) αx1 x
F (αx) = − (αx 1 ) (αx 2 ) e 1 + (αx 2 ) e 2 = α 2
x 2
⇒ F no es una transformación lineal.
≠ αF (x) (excepto para α = 0 o 1 o x 1 x 2 = 0)
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