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5.6.1. Representación matricial de la composición
Consideremos primero que V = R n , W = R m y U = R p , y sean A L (de m×n) y A G (de
p × m) las representaciones matriciales de L y G en las bases canónicas correspondientes,
tal que L(v) = A L v, G(w) = A G w. Entonces
GL(v) = G(L(v)) = G(A L v) = A G (A L v) = (A G A L )v
por lo que la representación matricial de la composición G L con respecto a las bases
canónicas de V y U es el producto A G A L de las matrices que representan a G y a L:
A GL = A G A L (5.2)
Observar que la matriz A G se aplica a la izquierda de la matriz A L . El producto está así bien
definido.
Ejemplo 5.6: En el problema 5.6.2, en las bases canónicas de R 3 y R 2 , obtenemos las
representaciones matriciales (¡verificar!).
( ) ( )
1 1 0
1 1
A L =
, A
0 1 1
G =
2 −2
tal que
⎛ ⎞
x
L ⎝y⎠ =
z
( x
G =
y)
( ) ⎛ ⎞
1 1 0
⎝x
y
0 1 1
z
( ) ( 1 1 x
=
2 −2 y)
⎠ =
( ) x + y
y + z
( ) x + y
2x − 2y
Por lo tanto,
o sea, A GL = A G A L =
⎛ ⎞
x
(GL) ⎝y⎠ =
z
=
=
( 1 2 1
2 0 −2
( ) ( ) ⎛ ⎞
1 1 1 1 0
⎝x
y⎠
2 −2 0 1 1
z
( ) ⎛ ⎞
1 2 1
⎝x
y⎠
2 0 −2
z
( )
x + 2y + z
2x − 2z
)
, con (G L)(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x − 2z).
(5.3)
En el caso general, para representaciones matriciales en bases arbitrarias B V , B W y
B U de V , W , U, se obtiene también (se deja la demostración para el lector)
[GL] B V
B U
= A G A L con A L = [L] B V
B W
, A G = [G] B W
BU
Este resultado es válido para espacios vectoriales generales de dimensión finita.
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