HELLO

v k = β 1 v 1 + . . . + β k−1 v k−1 . Entonces, restando v k en ambos miembros,
β 1 v 1 + . . . + β k−1 v k−1 − v k = 0
por lo que existe una combinación lineal de los k vectores con coeficientes no todos nulos
que es nula (α i = β i si i ≤ k − 1, α k = −1).
⇐: Si α 1 v 1 + . . . + α k v k = 0 y los α i no son todos nulos, suponiendo por ejemplo α k ≠ 0
podemos despejar v k en términos de los restantes vectores:
v k = −(α 1 v 1 + . . . + α k−1 v k−1 )/α k = (− α 1
α k
)v 1 + . . . + (− α k−1
α k
)v k−1
lo que muestra que v k es una combinación lineal de los restantes k − 1 vectores.
Los vectores v 1 , v 2 , . . . , v k son entonces linealmente dependientes si existe una
combinación lineal de ellos con coeficientes no todos nulos que es nula. En este caso al
menos uno de los k vectores v i pertenece al espacio generado por los restantes.
Por el contrario, los vectores v 1 , v 2 , . . . , v k son linealmente independientes si la
única forma de lograr una combinación lineal nula es que todos los escalares α i sean nulos.
En este caso, ninguno de los k vectores v i puede ser escrito como combinación lineal
de los restantes, es decir, ninguno pertenece al espacio generado por los restantes.
Si k = 1, las definiciones anteriores implican:
{ v = 0 ⇔ {v} linealmente dependiente
v ≠ 0 ⇔ {v} linealmente independiente
ya que si v = 0, αv = 0 ∀ α mientras que si v ≠ 0, αv = 0 implica α = 0 (Teorema 4.2.1).
Si k = 2, tenemos
{
v1 y v 2 proporcionales (colineales) ⇔ {v 1 , v 2 } linealmente dependiente
v 1 y v 2 no proporcionales (y no nulos) ⇔ {v 1 , v 2 } linealmente independiente
ya que si son proporcionales, por ej. v 2 = αv 1 , son linealmente dependientes
(v 2 − αv 1 = 0), mientras que si
α 1 v 1 + α 2 v 2 = 0
con α 1 o α 2 (o ambos) no nulos (vectores linealmente dependientes) entonces
v 2 = − α 1
α 2
v 1 (α 2 ≠ 0) o v 1 = − α 2
α 1
v 2 (α 1 ≠ 0)
que implica que son necesariamente proporcionales, es decir, uno es un multiplo escalar
del otro. Esto incluye el caso en que v 1 o v 2 (o ambos) son nulos (si v 2 = 0 ⇒ v 2 = 0v 1 ).
Geométricamente, en V = R n esto significa que los vectores v 1 y v 2 serán linealmente
dependientes sólo si son colineales (v 2 ∝ v 1 o v 1 ∝ v 2 ), es decir, si pertenecen ambos
a una misma recta que pasa por el origen, incluyendo el caso en que uno o ambos son
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