HELLO

Ejemplo 2.3.2
(( ) ( )) T
1 2 1 −2
=
3 4 2 1
( ) T
5 0
=
11 −2
( ) 5 11
=
0 −2
( 1 2
−2 1
) ( ) 1 3
2 4
Observación 1. Producto escalar como producto matricial
Si A es una matriz fila a de 1 × n y B una matriz columna b de n × 1, AB es una matriz
de 1 × 1 cuyo único elemento es el producto escalar a · b:
⎛ ⎞
AB = ( b
) 1
⎜ ⎟
a 1 . . . a n ⎝ . ⎠ = a 1 b 1 + . . . + a n b n
b n
(si la matriz es de 1 × 1 no es necesario escribir los paréntesis: se identifica R 1×1 con R).
Ejemplo:
⎛ ⎞
( )
2
1 2 3 ⎝−1⎠ = 3
1
Observación 2. Otras peculiaridades del producto matricial
• AB = 0 (matriz nula) no implica A = 0 o B = 0, ni tampoco BA = 0. Por ejemplo,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 −1 0 0 1 −1 1 1 −1 −1
= pero
=
2 2 −1 1 0 0 −1 1 2 2 1 1
• AB = AC no implica B = C, aún si A ≠ 0. Por ejemplo,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 4 6 1 1 2 1
= =
2 2 3 4 8 12 2 2 2 5
Observación 3. Potencias de matrices cuadradas
Si A es de n × n, se define la potencia A k (de n × n) para todo natural k = 1, 2, . . .:
A 2 = AA, A 3 = AA 2 = A 2 A = AAA, . . . A k = AA k−1 = A k−1 A = AA . . . A } {{ }
k veces
Si, en cambio, A no es cuadrada, A 2 (y por ende cualquier potencia) no está definida.
Ejemplo 2.3.3 Si A =
A 2 =
( ) 1 2
,
2 0
( ) ( )
1 2 1 2
2 0 2 0
=
( ) 5 2
, A 3 = AA 2 =
2 4
Nótese que en general, (A k ) ij ≠ a k ij si A no es diagonal.
( 9
) 10
10 4
48