HELLO

es decir,
L(x) = Ax
con A la matriz de m × n
⎛
⎞
a 11 . . . a 1n
⎜
A = (L(e 1 ), . . . , L(e n )) = ⎝
.
. ..
⎟ . ⎠
a m1 . . . a mn
La matriz A se denomina representación matricial de L en la bases canónicas de
R n y R m . Queda completamente determinada por las n imágenes L(e j ) de los vectores de
la base canónica. Se emplea también la notación
A = [L] Bc
B c
o simplemente A = [L] Bc . La representación de L con respecto a otras bases será una
matriz diferente, pero también de m × n.
Ejemplos 5.4
1. Sea L : R 3 −→ R 2 , definida por L (x) =
( )
x1 + x 2
x 2 + x 3
(ejemplo anterior). Tenemos
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 ( 0 ( 0 (
a 1 = L (e 1 ) = L ⎝0⎠ 1
= , a
0)
2 = L ⎝1⎠ 1
= , a
1)
3 = L ⎝0⎠ 0
=
1)
0
0
1
Por lo tanto,
Verificación:
A = (a 1 , a 2 , a 3 ) =
( 1 1
) 0
0 1 1
( ) ⎛ ⎞
1 1 0
1
( )
Ax =
⎝x
x
0 1 1 2
⎠ x1 + x
= 2
= L (x)
x
x 2 + x 3
3
2. Dada A de m × n, consideremos la transformación lineal L : R n −→ R m dada por
Es fácil ver que
L(x) = Ax
⎛ ⎞
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a 11 . . . a 1j . . . a 1n
0.
a 1j
⎜
L(e j ) = Ae j = ⎝
.
. .. . . ..
⎟
⎜ ⎟
. ⎠
= ⎝
⎜ ⎟
. ⎠ = a j
a m1 . . . a mj . . . a mm
⎝
1. ⎠ a mj
0
181