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2.6. Matrices elementales y sistemas lineales
El objetivo es resolver el sistema lineal Ax = b usando un sistema modificado, equivalente
al original, mediante sucesivas multiplicaciones por matrices simples que representan
las operaciones por filas.
2.6.1. Sistemas equivalentes
Consideremos un sistema lineal
Ax = b (2.32)
compatible, de dimensión m × n. Si se multiplica ambos lados del sistema anterior por
una matriz M no-singular (invertible) de m × m se obtiene
Entonces:
MAx = Mb (2.33)
• Si x es solución del sistema (2.32) ⇒ también satisface el sistema (2.33). Es decir,
toda solución del primero es también solución del segundo sistema.
• A su vez, si x es una solución del sistema (2.33) también es solución del sistema
(2.32), ya que si se multiplicase ambos lados de (2.33) por M −1 se obtendría
M −1 (MAx) = M −1 (Mb)
(
M −1 M ) Ax = ( M −1 M ) b,
resultando Ax = b ya que M −1 M = I.
Así hemos demostrado que los dos sistemas son equivalentes, siempre y cuando la matriz
M sea invertible.
Para obtener un sistema equivalente a Ax = b pero más fácil de resolver, se multiplicarán
ambos lados del sistema por una sucesión de matrices no-singulares E 1 , E 2 , . . . , E k de
m × m, de modo de llegar a un sistema más sencillo, es decir:
donde
E k . . . E 2 E 1 A x = E k . . . E 2 E 1 b
Si denominamos M = E k . . . E 2 E 1 , entonces
MA x = Mb
Esto transforma el sistema original en un sistema más sencillo
Ux = c
U = MA = E k . . . E 2 E 1 A
c = Mb = E k . . . E 2 E 1 b
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