HELLO

⎛
⎞
a 11 a 12 a 13
Problema 3.2.1 Probar que si A = ⎝a 21 a 22 a 23
⎠, entonces
0 0 a 33
det(A) = (a 11 a 22 − a 12 a 21 )a 33 , y que A es no singular si y sólo si det(A) ≠ 0.
3.2.2. Desarrollo por cofactores
Daremos ahora una expresión más sencilla y general para el determinante, que servirá
para el caso n × n.
• Considerando primero el caso 2 × 2, podemos escribir el determinante (3.2) como
det(A) = a 11 a 22 − a 12 a 21
= a 11 det(M 11 ) − a 12 det(M 12 ) (3.4)
donde M 11 = (a 22 ) es la submatriz de 1 × 1 obtenida al borrar la fila 1 y columna 1
de A, y M 12 = (a 21 ) la submatriz obtenida al borrar la fila 1 y columna 2 de A:
( )
a11 a
12
−→ M
a 21 a 11 = ( ( )
) a11 a
a 22 , 12
−→ M
22 a 21 a
12 = ( )
a 21
22
• Para el caso de 3 × 3, se puede reordenar la expresión (3.3) y escribirla como
det(A) = a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 )
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ a
= a 22 a 23∣∣∣
∣∣∣ a
11 − a 21 a 23∣∣∣
∣∣∣ a
a 32 a 12 + a 21 a 22∣∣∣
33 a 31 a 13
33 a 32
= a 11 det(M 11 ) − a 12 det(M 12 ) + a 13 det(M 13 ) (3.5)
donde M 1j es la matriz de 2 × 2 obtenida al borrar la fila 1 y la columna j de A:
⎛
⎞
a 11 a 12 a
13
( )
⎝a 21 a 22 a 23
⎠ a22 a
−→ M 11 = 23
a
a 31 a 32 a 32 a 33
33
⎛
⎞
a 11 a 12 a
13
( )
⎝a 21 a 22 a 23
⎠ a21 a
−→ M 12 = 23
a
a 31 a
32 a 31 a 33
33
⎛
⎞
a 11 a 12 a
13
( )
⎝a 21 a 22 a
23
⎠ a21 a
−→ M 13 = 22
a
a 31 a 32 a
31 a 32
33
⎛
2 5
⎞
4
Ejemplo 3.2.2. Si A = ⎝3 1 2⎠, entonces
5 4 6
2 5 4
det(A) =
3 1 2
= 2
∣ 1 2
∣ ∣ ∣∣∣ ∣5 4 6∣
4 6∣ 3 2
∣∣∣ 5 6∣ 3 1
5 4∣
a 31
= 2 (6 − 8) − 5 (18 − 10) + 4 (12 − 5)
= −16
80