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2.5. Matriz inversa
Una de las ventajas que ofrece el formalismo matricial es el de poder resolver los
sistemas lineales de n × n compatibles determinados en forma análoga a como se resuelve
un sistema ax = b de 1 × 1 cuando a ≠ 0. En{ primer lugar, notamos que la matriz
1 i = j
identidad definida en (2.6), de elementos (I) ij =
0 i ≠ j ,
⎛
⎞
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
I = ⎜
⎝.
..
⎟ . . ⎠
0 0 . . . 1
es el elemento neutro para la multiplicación de matrices:
Producto por matriz identidad.
Si I n , I m son las matrices identidad de n × n y m × m, entonces ∀ A de m × n,
A I n = A ,
I m A = A
Demostración: (AI n ) ij = ∑ n
k=1 a ik(I n ) kj = a ij (I n ) jj = a ij pues (I n ) kj = 0 si k ≠ j y
(I n ) jj = 1. Por lo tanto, AI n = A. La demostración de I m A = A es similar.
Por ejemplo,
( ) ⎛ ⎞
0 0 ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
⎝1
0 1 0⎠ 1 2 3 1 0 1 2 3 1 2 3
=
,
=
4 5 6
4 5 6 0 1 4 5 6 4 5 6
0 0 1
En particular, si A es de n × n, entonces
Por ejemplo, ( ) ( )
1 0 1 2
0 1 3 4
A I n = I n A = A
=
( ) ( )
1 2 1 0
3 4 0 1
=
( ) 1 2
3 4
Dada una matriz A de n × n, podemos preguntarnos ahora si existe una matriz
inversa A −1 tal que A A −1 = A −1 A = I n . En lo que sigue I denota la matriz I n .
Definición.
Una matriz A de dimensión n×n se dice no-singular o invertible cuando existe una matriz
A −1 de dimensión n × n tal que
A A −1 = A −1 A = I
La matriz A −1 se llama “inversa multiplicativa” o inversa de A.
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