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4.2. Espacio vectorial
Definición
Un conjunto V dotado de dos operaciones cerradas:
I. La suma de elementos de V
II. La multiplicación de un elemento de V por un escalar
es un espacio vectorial siempre y cuando se cumplan las siguientes propiedades:
1. La suma es conmutativa: u + v = v + u ∀ u, v ∈ V
2. La suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ V
3. Existe un único vector nulo 0 tal que v + 0 = v ∀ v ∈ V
4. ∀ v ∈ V existe el vector opuesto −v tal que v + (−v) = 0
5. α(u + v) = αu + αv ∀ u, v ∈ V y ∀ escalar α
6. (α + β)v = αv + βv ∀ v ∈ V y ∀ escalar α, β
7. α(βv) = (αβ)v ∀ v ∈ V y ∀ escalar α, β
8. 1v = v ∀ v ∈ V
Los elementos del espacio vectorial V se denominan vectores. Si los escalares son
números reales se dice que V es un espacio vectorial real.
Los escalares pueden ser también números complejos, en cuyo caso se dice que V es
un espacio vectorial complejo.
Observación 1. La definición de espacio vectorial no exige que exista un producto
entre vectores. Volveremos sobre este tema más adelante.
Observación 2. El conjunto de los escalares puede ser también cualquier conjunto
de números que forme un cuerpo, tal como el conjunto de números racionales. Un cuerpo
es un conjunto que tiene definida la suma y multiplicación entre sus elementos, las cuales
deben ser operaciones cerradas, conmutativas y asociativas, con validez de la propiedad
distributiva respecto a la suma y existencia de 0 (elemento neutro para la suma), 1 (elemento
neutro para la multiplicación) y elemento opuesto para la suma e inverso para la
multiplicación (con excepción del 0). El conjunto de los números reales y el conjunto de
los números complejos son también cuerpos.
Observación 3. Si bien en este curso utilizaremos la suma “usual” cuando consideremos
vectores de R n o matrices, en principio cualquier operación binaria + : V × V → V
que satisfaga todas las propiedades anteriores (y por su puesto, que sea de utilidad en un
cierto problema o contexto) puede ser considerada como una “suma” válida de vectores.
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