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4.12. Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales
Aplicaremos ahora los conceptos y resultados anteriores a sistemas de ecuaciones lineales.
Sea A una matriz de m × n. Consideremos el sistema asociado de m ecuaciones
con n incógnitas
Ax = b
es decir
⎛
⎜
⎝
⎞ ⎛
a 11 . . . a 1n
.
. ..
⎟ ⎜ . ⎠ ⎝
a m1 . . . a mn
⎞ ⎛ ⎞
x 1 b 1
⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ = ⎝ . ⎠
x n b m
El lado izquierdo puede escribirse como una combinación lineal de columnas de A,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 11
a 1n b 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x 1 ⎝ . ⎠ + . . . + x n ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠ (4.12.1)
a m1 a mn b m
donde los coeficientes de la combinación lineal son las n incógnitas x 1 , . . . , x n .
A partir de esta expresión se deducen los siguientes teoremas:
Teorema 4.12.1
Sea A ∈ R m×n y b ∈ R m . El sistema Ax = b es compatible si y sólo si b ∈ EC(A).
(O sea, tiene solución si y sólo si b pertenece al espacio columna de A).
Demostración. Es evidente de la ecuación (4.12.1): Si x es solución del sistema, entonces
existe una combinación lineal de las columnas de A que es igual al vector b, por
lo que b ∈ EC(A). Y si b ∈ EC(A), existirá una combinación lineal de las columnas de
A que será igual a b, por lo que el sistema tendrá solución.
Los sistemas Ax = b incompatibles (sin solución) son entonces aquellos en los que b
no pertenece al espacio columna de la matriz A. Esto puede ocurrir sólo si EC(A) no es
todo R m , sino un subespacio propio de R m con dimensión menor que m, o sea, si el rango
satisface r(A) < m.
Como consecuencia, en los sistemas compatibles el rango de la matriz ampliada
(formada por A y el vector b) es igual al de la matriz A (pues b ∈ EC(A) y entonces
el espacio columna de la ampliada coincide con el de A) mientras que en los incompatibles
los rangos difieren (pues b /∈ EC(A)).
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