HELLO

4. Finalmente, resolver por sustitución hacia atrás (como antes).
Observación. Veamos un ejemplo del caso que acabamos de explicar, es decir cuando,
en la columna que se está analizando, no hay ninguna posibilidad de obtener un pivote
no nulo al permutar con las las filas que le siguen. ¿Qué se hace en este caso?
Ejemplo 1.4.1 Sistema 5 × 5
⎛
⎞
1 1 1 1 1 1
−1 −1 0 0 1 −1
⎜ −2 −2 0 0 3 1
⎟
⎝ 0 0 1 1 3 −1 ⎠
1 1 2 2 4 1
−→
f 2 +f 1
f 3 +2f 1
f 5 −f 1
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 2 0
0 0 2 2 5 3
0 0 1 1 3 −1
0 0 1 1 3 0
Todos los posibles pivotes en la columna 2 son ceros. Entonces debemos tomar un
pivote en la misma fila pero en la columna 3 y continuar el proceso:
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 2 0
0 0 2 2 5 3
0 0 1 1 3 −1
0 0 1 1 3 0
⎞
⎟
⎠
−→
f 3 −2f 2
f 4 −f 2
f 5 −f 2
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 2 0
0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 1 0
De nuevo, las posibles elecciones del pivote en la columna 4 son ceros. Entonces nos
movemos a la columna 5 en esa misma fila:
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 2 0
0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 1 0
⎞
⎟
⎠
−→
f 4 −f 3
f 5 −f 3
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 2 0
0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0 −4
0 0 0 0 0 −3
Llegamos así a una matriz de forma escalonada. Las últimas filas representan las ecuaciones
0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = −4
0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = −3
Por tanto, se deduce que este sistema es incompatible, no existe solución. Esto es en
realidad evidente ya a partir del primer paso (¿por qué?), pero hemos realizado el procedimiento
sistemático completo para mostrar la forma de proceder en el caso general.
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Ejemplo 1.4.2 Si ahora realizamos las mismas operaciones elementales sobre el sistema
que ha cambiado, respecto del previo, sólo los términos b i de la derecha, obtenemos:
⎛
⎞
⎛
⎞
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
−1 −1 0 0 1 −1
⎜ −2 −2 0 0 3 1
⎟
⎝ 0 0 1 1 3 3 ⎠ −→ · · · −→ 0 0 1 1 2 0
⎜ 0 0 0 0 1 3
⎟
⎝ 0 0 0 0 0 0 ⎠
1 1 2 2 4 4
0 0 0 0 0 0
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