HELLO

b) Mostrar que L es una transformación lineal.
c) Mostrar que L es un isomorfismo (es decir, Nu(L) = {0 V }, Im(L) = R n ).
Este resultado muestra en forma explícita que todo espacio V de dimensión n (con
escalares reales) es isomorfo a R n , es decir, que existe una correspondencia biyectiva
entre ambos.
d) ¿Cuál es la inversa L −1 ?
6. Mostrar que dos espacios V , W son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.
7. Mostrar que la inversa de un isomorfismo L : V −→ W es un isomorfismo, es decir,
que L −1 es lineal y biyectiva.
5.4. Representación matricial de transformaciones
lineales
Veremos ahora que cualquier transformación lineal L entre espacios vectoriales de dimensión
finita V y W se puede representar mediante una matriz A, que dependerá de las
bases que se consideren en V y W .
En primer lugar consideramos transformaciones de R n en R m :
L : R n −→ R m
Asumimos primero que la base en V = R n es la base canónica B c = {e 1 , . . . , e n }.
Dado x ∈ R n , podemos representarlo como
⎛ ⎞
x 1
⎜ ⎟
x = ⎝ . ⎠ = x 1 e 1 + . . . + x n e n
x n
Como L es lineal,
L (x) = x 1 L (e 1 ) + . . . + x n L (e n )
Luego si para cada e j , j = 1, . . . , n, se tiene
⎛ ⎞
a 1j
⎜ ⎟
L (e j ) = a j = ⎝ . ⎠
a mj
entonces
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 11
a 1n
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
L(x) = x 1 ⎝ . ⎠ + . . . + x n ⎝ . ⎠
a m1 a mn
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a 11 . . . a 1n x 1
⎜
= ⎝ .
..
⎟ ⎜ ⎟
. . ⎠ ⎝ . ⎠
a m1 . . . a mn x n
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