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2.5.1. Reglas para matrices inversas
Sea A una matriz de n × n no-singular (invertible). Entonces
1. A −1 es no-singular y (A −1 ) −1 = A.
Demostración.
Obviamente, como A A −1 = A −1 A = I, A −1 es invertible, siendo A su inversa.
2. Si α ≠ 0, (α A) es no-singular y (αA) −1 = 1 α A−1 .
Demostración.
(αA) ( 1
A−1) = ( )
α 1 α α (AA −1 ) = 1 I = I. De igual forma se prueba ( 1
A−1) (αA) = I
α
3. Si B es también de n × n y no singular, entonces AB es no singular y
(A B) −1 = B −1 A −1
Notar la inversión del orden en el producto.
Demostración.
Utilizando la asociatividad del producto,
(A B)(B −1 A −1 ) = (A(B B −1 ))A −1 = (A I)A −1 = A A −1 = I
De igual forma se prueba que (B −1 A −1 )(AB) = I.
4. El resultado anterior se puede extender a varias matrices de n × n no-singulares
A 1 , A 2 , . . . , A k : El producto A 1 A 2 . . . A k es no singular y su inversa es
(A 1 A 2 . . . A k ) −1 = A −1
k
. . . A −1
2 A −1
1
Se deja la demostración para el lector. Por ejemplo, si A, B y C son todas de n × n
y no singulares,
(ABC) −1 = C −1 B −1 A −1
5. Si A es no singular ⇒ A T es no singular y su inversa es la traspuesta de A −1 :
(A T ) −1 = (A −1 ) T
Demostración.
Partiendo de AA −1 = I y trasponiendo ambos miembros se obtiene
(AA −1 ) T = (A −1 ) T A T = I T = I
En forma análoga, partiendo de A −1 A = I se obtiene A T (A −1 ) T = I. Por lo tanto
(A T ) −1 = (A −1 ) T .
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