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1.5. Método de eliminación de Gauss
Un algoritmo eficiente y fácilmente programable para resolver sistemas lineales de
cualquier tamaño con la metodología ya introducida es el Método de Gauss. Comenzamos
definiendo una forma especial de matrices.
Definición.
Una matriz M es de forma escalonada por filas si:
1. Cualquier fila nula (es decir, que tenga sólo ceros) está por debajo de las filas que
tienen algún elemento no nulo.
2. Si una fila j, j > 1, es no nula, entonces el número de ceros previos al primer
elemento no nulo (pivote) debe ser estrictamente mayor que el número de ceros
previos al pivote de la fila anterior (la fila j − 1).
Por lo tanto, un sistema está en la forma escalonada por filas si en cada fila la variable
pivote está a la derecha de la variable pivote de la fila previa a ella.
Observación 1. En algunos textos se pide también que el primer coeficiente no nulo
(pivote) de cada fila no nula sea 1. Esta condición requiere el paso adicional de multiplicar
cada fila no nula por una constante adecuada. Este paso es conveniente para poder despejar
en forma directa las variables dependientes, pero no es imprescindible.
Observación 2. Cuando una matriz está en forma escalonada, los primeros elementos
diferentes de cero de cada fila, reciben el nombre de pivotes. Note que por ser el pivote
el primer elemento no nulo de la fila no hay forma que una fila tenga más de un pivote:
puede no tener pivote en caso de que sea una fila de ceros (fila nula), pero no puede
tener dos o más. Notar también que por estar escalonada la matriz, no hay forma que dos
pivotes queden en la misma columna: puede una columna no tener pivote, pero si tiene
pivote no puede tener dos o más. De este hecho, se concluye que una matriz de m × n no
puede tener más de m pivotes porque tiene a lo sumo uno por cada fila.
Definición.
El proceso que utiliza operaciones elementales sobre las filas para reducir un sistema
lineal cualquiera a un sistema escalonado por filas, se denomina Método de eliminación
Gaussiana o Método de reducción por filas.
Los pasos siguientes permiten llevar una matriz, mediante operaciones elementales
sistemáticas sobre sus filas, a una matriz en forma escalonada:
1. Disponga en una matriz ampliada los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales
y del término independiente.
2. Si a 11 ≠ 0 tómelo como pivote. Caso contrario permute la fila 1 por una fila que no
tenga cero en el elemento de la primera columna.
3. Mediante operaciones elementales sobre las filas de la matriz resultante, obtenga
ceros por debajo del elemento pivote. Esto se logra restando a la fila i la fila 1
multiplicada por a i1 /a 11 , es decir, mediante las operaciones f i − a i1
a 11
f 1 para i ≥ 2,
tal que a i1 → 0 y a ij → a ij − a i1
a 11
a 1j para i ≥ 2 y j ≥ 2.
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