HELLO

Problemas 4.7
1) Analizar si los siguientes conjuntos son linealmente dependientes o independientes.
En el caso dependiente mostrar la dependencia lineal.
{( ) ( )} {( ) ( ) ( )} {( ) ( )}
2 1 2 1 1 1 0
a) i) , ii) , , , ii) , ,
1 2
1 2 0
1 0
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞⎫
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ 1 1 ⎬ ⎨ 1 1 1 ⎬ ⎨ 1 1 0 ⎬
b) i) ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 2 ⎠
⎩
⎭ , ii) ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ , ⎝ 1 ⎠
⎩
⎭ , iii) ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ , ⎝ 1 ⎠
⎩
⎭
1 1
1 1 1
1 1 1
{( ) ( ) ( )} {( ) ( ) ( )}
1 0 1 0 0 1
1 1 1 −1 1 3
c) i)
,
,
, ii)
,
,
0 1 0 −1 1 0
1 1 −1 1 3 1
d) i) {(1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3)}, ii) {(1, 2, 3, 4), (0, 2, 3, 4), (1, −2, −3, −4)}}
{( ) ( )}
1 0
2) a) Muestre que el conjunto {e 1 , e 2 } = , ⊂ R
0 1
2 es linealmente independiente.
b) Extienda el resultado anterior a R n : Muestre que
{e 1 , e 2 , . . . , e n } =
⎧⎛
⎪⎨
⎜
⎝
⎪⎩
1
0
.
0
⎛
3) Mostrar que el vector ⎝
⎞ ⎛
⎟
⎠ , ⎜
⎝
1
4
1
0
1
.
0
⎞ ⎛
⎟
⎠ , . . . , ⎜
⎝
0
0
.
1
⎞⎫
⎪⎬
⎟
⎠
⎪⎭
⊂ R n es linealmente independiente.
⎞
⎧⎛
⎨
⎠ pertenece al espacio generado por el conjunto ⎝
⎩
encontrando los coeficientes α 1 y α 2 de la combinación lineal. ¿ Son únicos?
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ 1 1 c ⎬
4) ¿ Para qué valores de c es el conjunto M = ⎝ 0 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ , ⎝ 1 ⎠
⎩
⎭ linealmente
1 0 0
dependiente?
5) Encuentre un conjunto de tres vectores linealmente independiente de R 3 que contenga
a los vectores (1, 2, 3) y (1, 1, 1).
6) En V = C(0, ∞), analizar si son linealmente independientes los siguientes conjuntos
de funciones: a) {ln t, e t } , b) {ln(t 3 ), ln(t)} , c) {cos(2t), sen 2 (t), 1}
7) Si el conjunto de vectores M = {u, v, w} ⊂ V es linealmente independiente,
i) Muestre que el conjunto {u, u + 2v, u + 2v + 3w} es linealmente independiente.
ii) Muestre que los subconjuntos propios {u, v}, {u, w}, {v, w}, {u}, {v}, {w},
son todos linealmente independientes.
iii) ¿Es válida la recíproca? Si todos los subconjuntos propios anteriores son linealmente
independientes, ¿es {u, v, w} necesariamente linealmente independiente?
1
0
1
⎞
⎛
⎠ , ⎝
8) Muestre que si {v 1 , . . . , v k } ⊂ V es linealmente dependiente, entonces {v 1 , . . . , v k , v k+1 }
es linealmente dependiente ∀ v k+1 ∈ V .
1
2
1
⎞⎫
⎬
⎠
⎭ ,
130