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Geométricamente, R 2 puede ser representado como el conjunto de todos los puntos del
plano bidimensional. Un vector v = (v 1 , v 2 ) puede ser representado como un segmento
recto dirigido desde el vector nulo 0 = (0, 0) hasta (v 1 , v 2 ).
El vector suma puede así obtenerse geométricamente mediante la conocida regla del
paralelogramo, mientras que la multiplicación por un escalar α genera un vector con la
misma dirección que el original, con el mismo sentido si α > 0 (en la figura se ha elegido
α > 1) y el sentido opuesto si α < 0.
u⩵u 1 ,u 2
uv⩵u 1 v 1 ,u 2 v 2
Αv⩵Αv 1 ,Αv 2
v⩵v 1 ,v 2
v⩵v 1 ,v 2
Figura 4.2: Suma de vectores y producto de un vector por un escalar
Estas operaciones verifican además las siguientes propiedades:
1. La suma es conmutativa: u + v = v + u
2. La suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Existe el vector nulo 0 = (0, 0) tal que v + 0 = v ∀ v
4. Para todo v = (v 1 , v 2 ) existe el vector opuesto −v = (−v 1 , −v 2 ) tal que v+(−v) = 0
5. El producto por un escalar es distributivo respecto de la suma de vectores:
α(u + v) = αu + αv
6. El producto por un escalar es distributivo respecto de la suma de escalares:
(α + β)v = αv + βv
7. El producto por un escalar es asociativo: α (βv) = (αβ)v
8. El producto por 1 no modifica el vector: 1v = v ∀ v
Las mismas propiedades son satisfechas por el conjunto R 3 de vectores en el espacio tridimensional,
y en general R n .
A continuación extenderemos estas propiedades a conjuntos más generales. La idea es
definir una estructura algebraica general, tal que cuando se pueda probar una propiedad
para dichos conjuntos, la misma sea válida independientemente de los elementos que
constituyan el conjunto.
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