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Según sea el orden del sistema lineal, estos se clasifican en sistema cuadrado si
m = n, es decir, si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y sistema
rectangular si m ≠ n. En este último caso, si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas
(m > n) se denomina sobredeterminado. Si por el contrario tiene menos ecuaciones
que incógnitas (m < n) se denomina subdeterminado:
Sistema cuadrado :
Sistema rectangular :
m = n (N o de ecuaciones = N o de incógnitas)
{ Sistema subdeterminado : m < n
m ≠ n
Sistema sobredeterminado : m > n
Definición.
Una solución de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es una n-upla (x 1 , x 2 , . . . , x n )
que satisface las m ecuaciones del sistema.
Ejemplo 1.2.1
(a) (b) (c)
x 1 − x 2 + x 3 = 2
2x 1 + x 2 − x 3 = 4
x 1 + 2x 2 = 5
2x 1 + 3x 2 = 8
Es fácil verificar que:
x 1 + x 2 = 2
x 1 − x 2 = 4
x 1 + 2x 2 = 0
(2 × 2) (2 × 3) (3 × 2)
• En (a) (sistema cuadrado) el par ordenado (x 1 , x 2 ) = (1, 2) satisface ambas ecuaciones,
por lo tanto es solución. Se puede verificar también que es la única solución.
• En (b) (sistema subdeterminado) la terna (x 1 , x 2 , x 3 ) = (2, 0, 0) satisface ambas
ecuaciones. Pero también la terna (x 1 , x 2 , x 3 ) = (2, α, α) donde α es un número real
cualquiera, satisface ambas ecuaciones. En este caso, existen pues infinitas soluciones
porque hay infinitas ternas (3-uplas) que satisfacen el sistema.
• En (c) (sistema sobredeterminado) no existe solución: Si sumamos las dos primeras
ecuaciones obtenemos 2x 1 = 6, de donde x 1 = 3. Utilizando ahora la primera o la
segunda ecuación, se obtiene x 2 = −1. Pero estos valores implican x 1 + 2x 2 = 1, lo
que está en contradicción con la última ecuación. Por lo tanto, este sistema no tiene
un par (x 1 , x 2 ) que satisfaga estas tres ecuaciones a la vez.
Debemos remarcar, no obstante, que no todo sistema cuadrado es compatible o posee
solución única, que no todo sistema subdeterminado es compatible, y que no todo sistema
sobredeterminado es incompatible, como muestran los siguientes ejemplos:
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