HELLO

10) Sea B = {b 1 , b 2 , b 3 } una base de un espacio vectorial V real, y sean α i , β i reales.
a) Mostrar que B ′ = {α 1 b 1 , α 2 b 2 , α 3 b 3 } es base de V siempre y cuando α 1 α 2 α 3 ≠ 0.
b) Mostrar que B ′′ = {b 1 , b 2 + α 1 b 1 , b 3 + β 1 b 1 + β 2 b 2 } es base de V ∀ α 1 , β 1 , β 2 .
Interprete estos resultados geométricamente.
11) Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Muestre que:
a) Ningún conjunto con menos de n vectores puede generar V .
b) Un conjunto de n vectores linealmente dependiente no puede generar V .
c) Todo conjunto linealmente independiente de m < n vectores de V puede ser extendido
para formar una base de V .
d) Cualquier conjunto con m > n vectores de V que genere V puede ser recortado
para formar una base de V .
Comentario
Las bases canónicas parecen ser las más simples y las más naturales para ser utilizadas. Sin
embargo, en algunas aplicaciones resulta conveniente utlizar otras bases, como veremos
en capítulos posteriores. Esto nos lleva a la necesidad de poder realizar cambios de base,
tema que se discutirá en la próxima sección.
4.9. Coordenadas de un vector en una base y cambio
de base
Sea V un espacio vectorial finitamente generado y B = {v 1 , v 2 , . . . , v n } una base de
V . Todo vector u ∈ V puede escribirse como combinación lineal única de los vectores de
la base, ya que estos vectores generan V y son linealmente independientes (teorema de
unicidad ):
u = α 1 v 1 + . . . + α n v n (4.9.1)
Los escalares α 1 , . . . , α n se denominan coordenadas del vector u en la base B. Se los
escribe normalmente como un vector columna [u] B ∈ R n :
⎛
[u] B =
⎜
⎝
⎞
α 1
⎟
. ⎠
α n
En este contexto, se sobreentiende a B como una base ordenada B = (v 1 , . . . , v n ), tal
que los subíndices de los elementos de la base indican el orden de los mismos. Así, α 1 es
la coordenada asociada a v 1 , α 2 la asociada a v 2 , etc.
En particular, si V = R n y B es la base canónica ordenada B c = (e 1 , . . . , e n ), el vector
de coordenadas de u ∈ R n en la base canónica es el mismo vector u (escrito como vector
columna). Por ejemplo, en R 2 ,
( ) ( ) ( )
x1 1 0
u = = x
x 1 + x
2 0 2 = xe
1
1 + ye 2
138