HELLO

Ahora, las dos últimas filas representan la ecuación 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0 que
es satisfecha por cualquier 5-upla (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ). Por tanto, en este nuevo sistema el
conjunto solución son todas las 5-uplas que satisfacen
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1
x 3 + x 4 + 2x 5 = 0
x 5 = 3
Dentro de estas tres ecuaciones, notamos que tenemos dos tipos de variables: variables
independientes (o libres) y variables dependientes
x 1 , x 3 , x 5 = variables dependientes:
x 2 , x 4 = variables independientes
Moviendo las variables independientes al término de la derecha
x 1 + x 3 + x 5 = 1 − x 2 − x 4
x 3 + 2x 5 = −x 4
x 5 = 3
se obtiene un sub sistema triangular, respecto de las variables x 1 , x 3 , x 5 , que son las
variables dependientes. Por lo tanto, estas tres variables se pueden despejar en función
del par de valores (α, β) asignados a (x 2 , x 4 ). El sistema triangular de las “variables
dependientes” tiene solución única para cada par de valores (α, β). Así,
x 5 = 3
x 3 = −x 4 − 2x 5 = −β − 6
x 1 = (1 − x 2 − x 4 ) − (x 3 + x 5 ) = 4 − α
El conjunto solución del sistema dado, resulta:
(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = (4 − α, α, −β − 6, β, 3)
donde α y β son números reales cualesquiera. En este caso se encuentra que el sistema
tiene “infinitas soluciones” porque el sistema original de 5 × 5 resultó ser equivalente a
un sistema de 3 × 5. Dos de las cinco ecuaciones originales son redundantes y no agregan
nueva información sobre las incógnitas (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ).
Problema 1.4.1
En el ejemplo anterior, mantener la “misma matriz” de coeficientes pero cambiar la columna
de la derecha de la matriz ampliada (los b i ) por ceros. Es decir, considerar el sistema
homogéneo asociado. Analizar que tipo de solución tiene y obtener el conjunto solución.
Importante. Como vimos en los dos ejemplos anteriores y en el ejercicio previo, el hecho
que un sistema “no tenga solución” o tenga “infinitas soluciones” depende de las constantes
{b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 }. Nos preguntamos entonces si existe algúna propiedad o característica de
los coeficientes de la matriz del sistema n × n, que pueda decirnos cuando el sistema
tiene una única solución, y cuando no tiene solución o tiene infinitas soluciones, sin tener
necesidad de resolver efectivamente el sistema. Más adelante, veremos que analizando la
matriz de coeficientes del sistema y la matriz ampliada será posible saber la respuesta.
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