HELLO

Resumiendo, si E es una matriz elemental, entonces
siendo
det (EA) = det(E) det(A)
⎧
⎨ −1 si E es de Tipo I
det(E) = α si E es de Tipo II
⎩
1 si E es de Tipo III
Lo mismo sucede para columnas.
Recordar que las operaciones elementales por columnas se obtienen al multiplicar a la
derecha por una matriz elemental E I , E II o E III . Usando la propiedad 2.,
det (AE) = det
((AE) )
T
= det ( E T A ) T
= det ( E ) T det ( A ) T
= det(E) det(A)
Los efectos sobre el determinante debido a las operaciones sobre las columnas son idénticos
a los correspondientes a las operaciones sobre las filas.
3.5.2. Determinante de matrices singulares y de un producto
Demostraremos ahora dos propiedades fundamentales del determinante.
¡Importante!
1. Una matriz A de dimensión n × n es singular si y sólo si det(A) = 0.
2. Si A y B son matrices de n × n ,
Primer resultado clave:
det (AB) = det(A) det(B)
1. Una matriz A de dimensión n × n es singular si y sólo si det(A) = 0.
Demostración. Cualquier matriz A de n × n se puede reducir, mediante una cantidad
finita de operaciones elementales sobre las filas, a la forma escalonada reducida
de Gauss-Jordan U (si A es no singular, U = I n , mientras que si es A es singular,
U tiene al menos una fila nula):
U = E k E k−1 . . . E 1 A
donde todas las {E i } son matrices elementales. Además, por ser productos con
matrices elementales se sabe que
det(U) = det (E k E k−1 ...E 1 A)
= det(E k ) det(E k−1 ) . . . det(E 1 ) det(A) (3.19)
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