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Problemas 5.5
1. Dada L : R 3 −→ R 3 definida por
⎛
2 2
⎞
0
L(x) = Ax , A = ⎝1 1 2⎠
1 1 2
⎛ ⎞
x 1
a) Obtener la expresión explícita de L(x) para un vector x = ⎝x 2
⎠.
x
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2
⎞⎫
⎨ 1 −2 1 ⎬
b) Hallar su representación A ′ en la base B ′ = ⎝−1⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝1⎠
⎩
⎭ .
0 1 1
Verificar que L(v 1) ′ = 0, L(v 2) ′ = v 2, ′ y L(v 3) ′ = 4v 3, ′ y que por lo tanto, A ′ es
diagonal.
c) Usar esta representación diagonal para hallar su núcleo e imagen.
d) Usar esta representación
⎛
diagonal
⎞
para interpretar L geométricamente.
0
e) Indique si el vector v = ⎝1⎠ pertenece a la imagen de L.
1
f) Verifique que la traza y determinante permanecen invariantes frente al cambio de
base: Tr(A) =Tr(A ′ ), det (A) = det (A ′ ).
2. Si la matriz A del problema anterior representa ahora una transformación L : P 2 → P 2
en la base canónica de P 2 , con P 2 el espacio de polinomios reales de grado ≤ 2 (y su
base canónica dada por {1, x, x 2 }), dé una expresión para L(p) y determine la base
B ′ de P 2 donde la representación A ′ es diagonal (utilice resultados previos).
3. Considere la reflexión L : R 2 → R 2 respecto de una recta que pasa por el origen y
que forma un ángulo θ con el eje x, dada por y = mx, con m = tan θ (graficar).
a) Determine, a partir
{(
de consideraciones
) ( )}
geométricas, su representación matricial
A ′ en la base B ′ cos θ − sin θ
= ,
formada por un vector perteneciente a la
sin θ cos θ
recta y otro perpendicular a dicha recta (¡verificar!). Muestre que A ′ es diagonal.
b) Utilice a) y cambio de base para obtener la representación matricial A en la base
canónica. Verifique que se obtiene el resultado del problema 5.4.2.
(
4. Sea L : R 2 −→ R 2 1
definida por L =
0)
( 2
2)
, L
( 0
=
1)
( 1
1)
.
a) Encuentre su representación matricial en la base canónica de R 2 y dé una expresión
para L(x).
( (
b) Encuentre su representación matricial en la base B ′ 1 1
={ , }, y verifique
−2)
1)
que es diagonal. c) Determine su núcleo e imagen.
5. a) Muestre que la representación matricial A = [I] B B del operador identidad I : V → V
con respecto a una base arbitraria B de un espacio vectorial V de dimensión n, es
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