HELLO

como un determinante:
w · (u × v) = w 1 (u × v) 1 + w 2 (u × v) 2 + w 3 (u × v) ∣ 3
w 1 w 2 w 3∣∣∣∣∣
=
u 1 u 2 u 3
(3.16)
∣v 1 v 2 v 3
Este resultado es obvio a partir de (3.13)–(3.14). Se dejan los detalles para el lector.
Nótese que si w = u o w = v ⇒ (3.16) es nulo.
4. Interpretación geométrica del determinante. Caso 3 × 3.
El producto triple anterior puede también escribirse como
w · (u × v) = |w||u × v| cos φ = h|u × v| (3.17)
donde φ es el ángulo entre w y u × v y h = |w| cos φ la “altura” del paralelepípedo
formado por los tres vectores u, v, w (ver figura, en la que u y v están en el plano
x, y). Como |u × v| es el área de la base, el módulo del producto anterior es el
volumen del paralelepípedo:
⎛ ⎞
w 1 w 2 w 3
Volumen = |w · (u × v)| = | det(A)|, A = ⎝u 1 u 2 u 3
⎠ (3.18)
v 1 v 2 v 3
Los vectores w, u, v pueden ponerse también por columna ya que det(A) = det(A T ).
z
w
ϕ
h
y
v
u
x
Figura 3.2: Determinante de una matriz de 3 × 3. Su valor absoluto representa el volumen
del paralelepípedo formado por sus filas (o columnas).
La noción de volumen pueden generalizarse a R n , siendo | det(A)| el “volumen” (o
hipervolumen) del “paralelepípedo” formado por las n filas o columnas de A.
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