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nulos. Por el contrario, los vectores v 1 y v 2 serán linealmente independientes si no son
colineales. Nótese que esto no implica que sean ortogonales.
y
y
y
v 1
v 2
x
v 1
v 2
x
v 1
v 2
x
Figura 4.5: vectores linealmente dependientes vectores linealmente independientes
En R 3 , dos vectores v 1 y v 2 que sean linealmente independientes generan un plano,
pues son no nulos y no colineales. Si un tercer vector v 3 pertenece a ese plano, de forma
que v 1 , v 2 , v 3 son coplanares, el conjunto {v 1 , v 2 , v 3 } será linealmente dependiente,
ya que v 3 podrá escribirse como combinación lineal de v 1 y v 2 . Por otro lado, si los tres
vectores no son coplanares, el conjunto {v 1 , v 2 , v 3 } será linealmente independiente y
generará todo R 3 , como veremos luego.
Mencionemos finalmente que si uno de los vectores del conjunto {v 1 , . . . , v k } es nulo
entonces {v 1 , . . . , v k } es linealmente dependiente: Suponiendo, por ej., v k = 0, tenemos
0v 1 + . . . + 0v k−1 + 1v k = 0 + 10 = 0, existiendo entonces una combinación lineal
nula de los vectores con coeficientes no todos nulos.
Ejemplos 4.7.1
⎧⎛
⎨
1) Sea M = ⎝
⎩
1
0
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
1
1
0
α 1
⎛
⎝
⎞
⎧
⎨
obtenemos el sistema
⎩
⎛
⎠ , ⎝
1
0
0
1
1
1
⎞⎫
⎬
⎠ . Planteando la combinación lineal nula
⎭
⎞ ⎛
⎠ + α 2
⎝
1
1
0
α 1 + α 2 + α 3 = 0
α 2 + α 3 = 0
α 3 = 0
⎞ ⎛
⎠ + α 3
⎝
1
1
1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎛
, es decir ⎝
0
0
0
⎞
⎠
1 1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 0
que tiene como única solución α 1 = α 2 = α 3 = 0. El conjunto M es entonces
linealmente independiente. Este resultado es también obvio a simple vista: Por
la forma de los vectores, es claro que ninguno puede escribirse como combinación
lineal de los otros dos.
Nótese también que la matriz A =
no singular (det A = 1).
⎧⎛
⎨
2) Sea M = ⎝
⎩
1
1
1
⎞
⎛
⎠ , ⎝
2
1
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
4
3
2
⎛
⎝
1 1 1
0 1 1
0 0 1
⎞
⎞
⎠
⎠ formada por los tres vectores es
⎞⎫
⎬
⎠ . Planteando la combinación lineal nula
⎭
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