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2.3. Producto de matrices
Pasemos ahora a definir el producto de matrices. Esta es una operación clave, que
posibilita el uso de las matrices para representar algebraicamente sistemas de ecuaciones
lineales, y también, como se verá en el Cap. V, transformaciones lineales entre vectores y
operaciones geométricas tales como rotaciones y reflexiones.
Antes de definir el producto matricial, recordemos que el producto escalar o punto
de dos vectores reales de n componentes a = (a 1 , . . . , a n ) y b = (b 1 , . . . , b n ) está dado por
a · b =
n∑
a k b k = a 1 b 1 + . . . + a n b n
k=1
Definición
Consideremos una matriz A de m × n y una matriz B de n × p, tal que el número de
columnas de A coincide con el número de filas de B. Las filas de A y las columnas de B,
⎛ ⎞
b 1j
a i∗ = (a i1 , . . . , a in ), b ∗j = ⎝. . . ⎠
b nj
son entonces vectores de n componentes. El producto de A por B es una matriz de
m×p cuyos elementos i, j son el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:
A B AB
m × n n × p m × p
(AB) ij = a i∗ · b ∗j
n∑
= a ik b kj = a i1 b 1j + . . . + a in b nj
k=1
Es decir,
⎛
AB =
⎜
⎝
⎛
⎞
a 11 . . . a 1n
.
. ..
⎟
. ⎠ ⎜
⎝
a m1 . . . a mn
b 11
.
b n1
⎞
. . . b 1p
⎛
. .. .
⎟
⎠ = ⎜
⎝
. . . b np
∑ n
k=1 a ∑
1kb k1 . . . n
k=1 a ⎞
1kb kp
.
. ..
⎟
∑ . ⎠
n
k=1 a ∑
mkb k1 . . . n
k=1 a mkb kp
Si el número de columnas de A no coincide con el número de filas de B, el producto AB
no está definido.
Ejemplos 2.3.1:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 −2 1 + 4 −2 + 2 5 0
=
=
3 4 2 1 3 + 8 −6 + 4 11 −2
( ) ( ) ( ) ( )
1 −2 1 2 1 − 6 2 − 8 −5 −6
=
=
2 1 3 4 2 + 3 4 + 4 5 8
¡¡Se observa que el orden de los factores sí altera el producto!!
(2.7)
(2.8)
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