HELLO

El único paso no trivial es el realizado en tercer término. Hemos multiplicado ambos
miembros de la primer ecuación por −1, y sumado ese resultado a la segunda ecuación,
para luego escribir ese resultado como la nueva segunda ecuación, reemplazando a la
original. Ahora, se puede encontrar el valor de cada variable fácilmente. En otros casos,
puede ocurrir que no se obtenga una forma triangular.
Veamos algunos ejemplos simples, indicando cada operación realizada para pasar de
un sistema a otro equivalente.
Ejemplo 1.3.2 Consideremos el siguiente sistema de 2 × 2
x + 2y = 8
2x + 4y = 8
se suma a la ecuación 2 la ecuación 1 multiplicada por −2 x + 2y = 8
−→
f 2 −2f 1 0 = −8
En este caso se advierte que el sistema equivalente es incompatible (hay una ecuación
inconsistente).
Ejemplo 1.3.3 En el sistema
x + y = 4
2x + 2y = 8
es evidente que cualquier par x, y de números que satisface la primer ecuación también
satisface la segunda.
La solución, es el conjunto de pares: {(x, y) ∣ ∣ x + y = 4}. Algunas soluciones son:
(0, 4), (−1, 5), y (10, −6). Si se hubiesen aplicado operaciones elementales para intentar
llevarlo a la forma triangular, se obtendría
se suma a la ecuación 2 la ecuación 1 multiplicada por -2 x + y = 4
−→
f 2 −2f 1 0 = 0
En este caso el sistema lineal tiene infinitas soluciones. Es compatible indeterminado.
Comentario. La igualdad que aparece en este ejemplo: “0 = 0” es un “indicador” de que
la segunda ecuación es “redundante” (no aporta nueva información). Por ser un sistema
de 2 × 2, eso ya es suficiente para saber que existen infinitas soluciones. En general, en
sistemas más grandes, la expresión “0 = 0” no es suficiente para derivar esa conclusión.
Problema 1.3.1
a) Resolver el siguiente sistema, aplicando operaciones elementales para llegar a una forma
triangular:
⎧
⎨ x 1 + 2x 2 + x 3 = 3
3x 1 − x 2 − 3x 3 = −1
⎩
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 4
Verificar que por sustitución hacia atrás resulta: (x 1 , x 2 , x 3 ) = (3, −2, 4).
b) Resolver el sistema homogéneo asociado ¿Es necesario para esto, realizar cálculos extras
a los realizados en la parte a)?
Problema 1.3.2
Aplicar operaciones elementales con el objetivo de llevar, de ser posible, el siguiente sistema
a una forma triangular. Decidir cuántas soluciones tiene.
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