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Figura 4.4: Todos los subespacios propios de R 3 son rectas o planos que pasan por el origen
9) Sea V = R 2×2 y S el conjunto de matrices de 2 × 2 de traza nula:
{( )
}
a b
S =
∈ R 2×2 , a + d = 0
c d
{( a b
S puede ser también escrito como S =
c −a
S es subespacio de R 2×2 pues:
1. La matriz nula 0 = ( 0 0 0
0) ∈ S (caso a = b = c = 0).
) }
, a, b, c ∈ R .
2. Si A 1 = ( a 1 b 1
c 1 −a 1
), A 2 = ( a 2 b 2
c 2 −a 2
) son dos matrices ∈ S, A 1 +A 2 =
(
a1 + a 2 b 1 + b 2
c 1 + c 2 −(a 1 + a 2 )
∈ S ya que es también( de traza nula. )
αa αb
3. Si A ∈ S ⇒ αA =
∈ S ya que también es de traza nula.
αc −αa
Al cumplirse 1., 2., 3. podemos afirmar que S es un subespacio de R 2×2 . Este resultado
permanece válido para matrices de n×n y puede también demostrarse a partir
de la linealidad de la operación de traza, como veremos en un capítulo posterior.
)
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