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10) Sea V = P 2 = {p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 , a i ∈ R}, el espacio vectorial de los polinomios
de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales.
Veamos que S = {p(t) ∈ P 2 , a 1 + a 2 = 0} es un subespacio de P 2 . Nótese que S es
el subconjunto de los polinomios de P 2 de la forma p(t) = a 0 + a 1 (t − t 2 ), es decir,
de los que satisfacen p(0) = p(1).
1. 0 = 0 + 0t + 0t 2 ∈ S, pues en este caso a 1 + a 2 = 0 + 0 = 0.
2. Sean p 1 (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 ∈ S y p 2 (t) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 ∈ S. Es decir a 1 + a 2 = 0
y b 1 + b 2 = 0. Entonces
p 1 (t)+p 2 (t) = (a 0 + a 1 t + a 2 t 2 )+(b 0 + b 1 t + b 2 t 2 ) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )t+(a 2 +b 2 )t 2
∈ S pues (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) = 0 + 0 = 0.
3. Sea α ∈ R y p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 ∈ S, es decir a 0 + a 2 = 0. Entonces
αp(t) = α(a 0 + a 1 t + a 2 t 2 ) = (αa 0 ) + (αa 1 )t + (αa 2 )t 2 ∈ S, pues (αa 1 ) + (αa 2 ) =
α(a 1 + a 2 ) = α0 = 0.
Hemos entonces probado que S es un subespacio de P 2 . Esto puede también demostrarse
a partir de las otras formas de definir este subespacio, mencionadas arriba.
11) El producto escalar entre dos vectores u = (u 1 , . . . , u n ), v = (v 1 , . . . , v n ) ∈ R n se
define como u · v = u 1 v 1 + . . . + u n v n . Y dos vectores son ortogonales si u · v = 0.
Mostraremos que el conjunto de vectores de R n ortogonales a un vector dado u,
S = {v ∈ R n , v · u = 0}, es un subespacio de R n (subespacio ortogonal a u):
1. 0 ∈ S pues 0 · u = 0
2. Si v 1 y v 2 ∈ S (v 1 · u = 0, v 2 · u = 0) ⇒ (v 1 + v 2 ) · u = v 1 · u + v 2 · u = 0 + 0 = 0,
por lo que v 1 + v 2 ∈ S
3. Si v ∈ S (v · u = 0) ⇒ (αv) · u = α(v · u) = α0 = 0, por lo que αv ∈ S.
Por lo tanto S es un subespacio de R n . Si u = 0 ⇒ S = R n , pero si u ≠ 0, S será un
subespacio propio de R n (de dimensión n − 1, como veremos luego).
Se deja como ejercicio probar que el conjunto de vectores ortogonales a un cierto
conjunto de vectores {u 1 , . . . , u m } ⊂ R n es también un subespacio de R n .
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