HELLO

⎧ ⎛
⎨
6) Sea M ′ =
⎩ e 1, e 2 , e 3 , ⎝
2
3
1
⎞⎫
⎬
⎠
⎭ ⊂ R3 .
Todo vector v ∈ R 3 puede también escribirse como
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
x 1 0 0
⎝ y ⎠ = x ⎝ 0 ⎠ + y ⎝ 1 ⎠ + z ⎝ 0
z 0 0 1
por lo cual también gen(M ′ ) =
〈
⎛
e 1 , e 2 , e 3 , ⎝
2
3
1
⎞〉
⎠
⎞
⎛
⎠ + 0 ⎝
2
3
1
⎞
⎠
= R 3 . Podemos observar que el
último vector de M ′ es “redundante” ya que no es necesario para obtener al vector
v. En realidad, puede quitarse uno cualquiera de estos cuatro vectores sin afectar
la generación de todo R 3 (¡probar!)
7) Sea
⎧⎛
⎨
M = ⎝
⎩
⎛
Dado un vector cualquiera v = ⎝
1
1
1
x
y
z
⎞
⎛
⎠ , ⎝
⎞
2
1
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
4
3
2
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
⎠∈ R 3 , ¿podemos escribirlo como combinación
lineal de los vectores de M ? Es decir, ¿genera M a R 3 ? Para ello debemos ver si
existen escalares α, β y δ tales que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 2 4
⎝ y ⎠ = α ⎝ 1 ⎠ + β ⎝ 1 ⎠ + δ ⎝ 3 ⎠
z 1 0 2
Resolviendo este sistema por eliminación gaussiana,
⎛
1 2 4
⎞
x
⎛
1 2 4 x
(A | v) = ⎝ 1 1 3 y ⎠ → ⎝ 0 −1 −1 y − x
1 0 2 z 0 −2 −2 z − x
⎛
→ ⎝
1 2 4 x
0 1 1 x − y
0 0 0 x − 2y + z
⎞
⎠
⎞
⎛
⎠ → ⎝
1 2 4 x
0 1 1 x − y
0 −2 −2 z − x
vemos que si x − 2y + z ≠ 0 el sistema es incompatible. Los vectores v = ⎝
para los cuales x − 2y + z ≠ 0 no pueden ser generados por el conjunto M.
⎛ ⎞
x
Por otro lado, los vectores v = ⎝ y ⎠ que satisfacen x − 2y + z = 0 sí pueden ser
z
generados por M, teniendo el sistema infinitas soluciones.
⎛
x
y
z
⎞
⎠
⎞
⎠
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