HELLO

Construimos la matriz de representación de una red: Si el grafo tiene un total de n
vértices, se define una matriz A = {a ij } de n × n:
{ 1 si existe la arista que une Vi con V
a ij =
j
0 si no existe una arista que una V i con V j .
La matriz A se llama la matriz de adyacencia o matriz de vértices del grafo.
En nuestro ejemplo sería ⎛
⎞
0 1 0 0 0
1 0 0 0 1
A =
⎜0 0 0 1 1
⎟
⎝0 0 1 0 1⎠
0 1 1 1 0
La matriz de adyacencia es simétrica (a ij = a ji ) debido a que si V i y V j están conectados,
entonces a ij = a ji = 1; y si no están conectados a ij = a ji = 0.
Consideremos un camino o senda en la grafo como una secuencia de aristas que unen
un vértice con otro. En nuestro ejemplo, las aristas {V 1 , V 2 } y {V 2 , V 5 } representan un
camino desde V 1 hasta V 5 . El largo del camino o de la senda en este caso es 2 debido a
que consiste de dos aristas.
Los camino se indican con flechas:
V 1 −→ V 2 −→ V 5
es un camino de longitud 2 desde V 1 hasta V 5 . Y
V 4 −→ V 5 −→ V 2 −→ V 1
es un camino de longitud 3 desde V 4 hasta V 1 .
Una arista puede atravesarse más de una vez en un mismo camino,
V 5 −→ V 3 −→ V 5 −→ V 3
es un camino de longitud 3 desde V 5 hasta V 3 .
¿Cómo se puede usar la matriz de adyacencia para averiguar los caminos de diferentes
longitudes (número de aristas que usan) que existen entre dos nodos particulares ?
Tomando potencias de la matriz de adyacencia podemos determinar el número de
caminos (o sendas) de una longitud determinada entre dos vértices.
Esta información es crítica para lograr operaciones eficientes en sistemas de ruteo de
telecomunicaciones de alta velocidad.
El siguiente teorema justifica la metodología.
Teorema 2.9.2: Sea A una matriz de adyacencia de n × n de un grafo. Si a (k)
ij representa
el coeficiente en el lugar ij de su potencia A k , entonces a (k)
ij es igual al número de caminos
de longitud k entre los vértices V i y V j .
Demostración (por inducción). Para el caso k = 1, de la definición se sigue que los
a ij representan los caminos de longitud 1 entre V i y V j .
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