HELLO

En efecto, en tal caso E k . . . E 1 A = U, por lo que
que implica
A = (E k . . . E 1 ) −1 U = E1 −1 . . . E −1 U
L = E −1
1 . . . E −1
k
Pero al ser todas las E i operaciones sucesivas de tipo III, L es triangular inferior, con
L ii = 1 ∀ i. Por ejemplo, si para A de 3 × 3 E 1 realiza la operación f 2 − α 1 f 1 , E 2 la
operación f 3 − α 2 f 1 y E 3 la operación f 3 − α 3 f 2 , entonces
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
y
E 1 = ⎝
1 0 0
−α 1 1 0⎠ , E 2 = ⎝
0 0 1
⎛ ⎞
1 0 0
E1 −1 = ⎝α 1 1 0⎠ , E −1
0 0 1
2 =
k
1 0 0
1 0 0
0 1 0⎠ , E 3 = ⎝0 1 0⎠
−α 2 0 1
0 −α 3 1
⎛
1 0
⎞
0
⎝ 0 1 0⎠ , E −1
α 2 0 1
3 =
⎛
1 0
⎞
0
⎝0 1 0⎠
0 α 3 1
son también operaciones de tipo III (con α i → −α i ). Por lo tanto,
⎛ ⎞
1 0 0
L = E1 −1 E2 −1 E3 −1 = ⎝α 1 1 0⎠ (2.36)
α 2 α 3 1
La descomposición LU es un resultado útil en la resolución numérica de sistemas: un
método eficiente para resolver sistemas grandes Ax = b es precisamente escribirlo como
LUx = b
y resolverlo en dos pasos:
I) Resolver Ly = b, mediante sustitución hacia adelante (por ser L triangular inferior)
II) Resolver Ux = y, con y el valor hallado en I, mediante sustitución hacia atrás
(por ser U triangular superior).
En el caso general, y también por razones de estabilidad numérica, es necesario en
general utilizar permutaciones para poder obtener una buena factorización LU, tal que
A = P LU, con P una matriz de permutación.
Ejemplo 2.8.1 Sea
⎛
2 4
⎞
2
A = ⎝1 5 2⎠
4 −1 9
Usando sólo operaciones por filas de Tipo III tenemos
⎛
2 4
⎞
2
⎛
2 4
⎞
2
⎝1 5 2⎠
−→ ⎝0 3 1⎠ −→
4 −1 9 f 2 − f 1 /2
f 3 − 2f 1
0 −9 5
⎛
⎝
f3 +3f 2
2 4
⎞
2
0 3 1⎠ = U
0 0 8
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