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3.2.3. El caso general n × n
Definición inductiva
Partiendo del caso trivial 1 × 1,
det(A) = a 11 (n = 1)
para A de n × n, n > 1, podemos definir el determinante como
∣ a 11 . . . a 1n ∣∣∣∣∣∣ det(A) =
. . . . . = a 11 c 11 + a 12 c 12 + · · · + a 1n c 1n
∣a n1 . . . a nn
(n > 1) (3.6)
donde
c 1j = (−1) 1+j det(M 1j ) ,
j = 1, . . . , n
son los cofactores de los coeficientes de la primer fila de A.
Se puede utilizar también cualquier fila o columna de A para las expansiones:
donde
det(A) = a i1 c i1 + a i2 c i2 + · · · + a in c in expansión por fila i (3.7)
es el cofactor del elemento a ij de A.
= a 1j c 1j + a 2j c 2j + · · · + a nj c nj expansión por columna j (3.8)
c ij = (−1) i+j det(M ij )
De esta forma el determinante de una matriz de n × n queda expresado como una
combinación de n determinantes de orden (n − 1).
En la práctica, los determinantes se expanden a lo largo de la fila o columna que
contenga más ceros (¿por qué?). Pueden utilizarse también otras propiedades del
determinante para su evaluación, como veremos a continuación.
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