HELLO

( 1
con e 1 =
0
) ( 0
, e 2 =
1
)
, por lo que
( )
x1
[u] Bc =
x 2
(( ) ( ))
1 2
Si consideramos ahora una base distinta, por ejemplo B = (v 1 , v 2 ) = ,
2 1
(la cual es base pues son dos vectores linealmente independientes de R 2 ), tendremos
( ) ( ) ( )
x1
1 2
u = = α
x 1 v 1 + α 2 v 2 = α 1 + α
2 2 2
1
Para obtener las nuevas coordenadas α 1 , α 2 , se debe entonces resolver el sistema
( ) ( ) ( )
1 2 α1 x1
=
2 1 α 2 x 2
es decir,
( 1 2
donde A = ([v 1 ] Bc , [v 2 ] Bc ) =
2 1
A[u] B = [u] Bc
)
es la matriz de coordenadas de los vectores de la
nueva base B en la base canónica. Esta matriz es no singular por ser B linealmente independiente
(Teorema 4.7.2), existiendo entonces su inversa. El sistema anterior tendrá así la
solución única,
[u] B =
(
α1
)
=
α 2
( 1 2
2 1
) −1 ( )
x1
= 1 ( −1 2
x 2 3 2 −1
es decir, α 1 = −x 1+2x 2
, α
3 2 = 2x 1−x 2
. Por lo tanto,
3
( ) (
x1
u = =
x −x 1+2x 2 1
3
2 2
) ( )
x1
= 1 ( )
−x1 + 2x 2
x 2 3 2x 1 − x 2
) ( )
+ 2x 1−x 2 2
3 1
)
, obtenemos α 1 = 1, α 2 = 0, ya que u = v 1 = 1v 1 + 0v 2 .
( 1
Por ejemplo, si u =
2
La interpretación gráfica de las nuevas coordenadas se muestra en la figura. Todo vector
u del plano R 2 se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base
canónica e 1 , e 2 , u = x 1 e 1 + x 2 e 2 , pero también como combinación lineal de los vectores
v 1 , v 2 de cualquier otra base de R 2 , o sea, u = α 1 v 1 + α 2 v 2 , donde v 1 , v 2 deben ser no
nulos y no paralelos.
En el caso general de R n , para encontrar las nuevas coordenadas α 1 , . . . , α n reescribimos
la ecuación (4.9.1), en forma matricial, tal como en el teorema 4.7.2:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
u 1
v 11
v 1n v 11 . . . v 1n α 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ . ⎠ = α 1 ⎝ . ⎠ + . . . + α n ⎝ . ⎠ = ⎝
.
. ..
⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠
u n v n1 v nn v n1 . . . v nn α n
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