HELLO

⎧ ⎛
⎨
N(A) =
⎩ x 3
⎝
1
−1
1
⎞ ⎫ 〈
⎬
⎛
⎠ , x 3 ∈ R
⎭ = ⎝
1
−1
1
⎞〉
⎠
Teorema 4.12.3.
Sea A ∈ R m×n . El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución (o sea, tiene solución única
o no tiene ninguna) para todo b ∈ R m si y sólo si las n columnas de A son linealmente
independientes, es decir, si y sólo si el rango de A es n (r(A) = n)
Demostración. Este caso sólo puede darse si m ≥ n, para que el rango pueda ser n. Si
el sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución, entonces el sistema homogéneo Ax = 0
tendrá como única solución la solución trivial x = 0, lo que implica, según (4.12.1), que
las n columnas son linealmente independientes, es decir, r(A) = dim EC(A) = n.
Y si r(A) = n ⇒ dim EC(A) = n, por lo que las n columnas son linealmente independientes.
En este caso todo vector b ∈ EC(A) se escribe de forma única como combinación
lineal de estas columnas (Teorema 4.7.4), por lo que el sistema Ax = b tendrá solución
única ∀ b ∈ EC(A). Y no tendrá solución si b /∈ EC(A).
Ejemplo 4.12.3
Consideremos primero el sistema del ejemplo 4.12.1. Las dos columnas de A son linealmente
independientes, con r(A) = n = 2 < m. Se verifica que el sistema o bien tiene
solución única (cuando b ∈ EC(A), o sea cuando b 3 = b 2 − b 1 ), o bien es incompatible
(cuando b /∈ EC(A), o sea, b 3 ≠ b 2 − b 1 ). Nótese que la nulidad es n(A) = n − r(A) = 0.
Consideremos ahora el sistema del ejemplo 4.12.2. Aquí las columnas de A son linealmente
dependientes, con r(A) = 2 < n = 3, y se verifica que el sistema es
compatible indeterminado, es decir, no tiene solución única. Nótese que la nulidad es
n(A) = n − r(A) = 1, indicando que el conjunto solución tendrá un parámetro libre.
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