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202<br />Matemática Ensino Fundamental<br />Você sabia que os<br />animais podem distinguir<br />quantidades?<br />Um pássaro percebe quando está faltando um ovo<br />em seu ninho, assim como a mamãe gata percebe<br />a falta de um de seus filhotes. Na verdade, as<br />pesquisas que já foram realizadas sobre esse tema<br />indicam que os animais podem, dentro de certos<br />limites, distinguir quantidades num relance, assim<br />como reconhecem um odor ou uma cor.<br />Nós, seres humanos, compartilhamos essa<br />habilidade com os animais.<br />Podemos distinguir, sem contar, conjuntos com<br />três, quatro, talvez até seis bolinhas. Faça essa<br />experiência, com a colaboração de um colega:<br />peça para ele apresentar coleções de objetos<br />idênticos - bolinhas de gude, tampinhas de<br />garrafa etc - e procure adivinhar a quantidade de<br />objetos, sem contar!<br />O que nos torna diferentes dos animais é a<br />capacidade de contagem, que permite que<br />superemos as limitações de nossos sentidos.<br />A forma mais elementar de efetuar uma contagem<br />é associar a cada elemento de um conjunto um<br />número natural. É o que fazemos quando<br />contamos, por exemplo, as pessoas numa fila:<br />apontamos nosso dedo indicador a cada pessoa,<br />na seqüência em que se encontram na fila, e<br />vamos recitando a seqüência dos números<br />naturais: um, dois, três, quatro, cinco... É claro<br />que nem sempre essa é a estratégia mais<br />adequada, uma vez que pode haver muitos<br />objetos a serem contados, ou os objetos a serem<br />contados são muito grandes, ou muito pequenos,<br />ou inatingíveis.<br />Assim, gostaríamos de apresentá-lo a uma<br />estratégia de contagem mais sofisticada do que<br />apontar com o dedo. Vamos partir de um<br />problema simples:<br />Luiz Carlos possui, em seu guarda-roupa, três<br />calças (azul, preta e cinza) e quatro camisas<br />(branca, verde, laranja e vermelha). De quantas<br />maneiras ele pode se vestir, usando uma de suas<br />calças e uma de suas camisas? Vejamos: se ele<br />escolher a calça azul, tem 4 possibilidades de<br />escolha para a camisa. Pode usar calça azul e<br />camisa branca, calça azul e camisa verde, calça<br />azul e camisa laranja, calça azul e camisa<br />vermelha. Se ele selecionar a calça preta, terá<br />outras quatro possibilidades, combinando a calça<br />preta com cada uma de suas quatro camisas. Da<br />mesma forma, a escolha da calça cinza fornecerá<br />outras quatro possibilidades. Temos então 4<br />possibilidades para a calça azul, 4 para a calça<br />preta e 4 para a calça cinza, dando um total de<br />12 possibilidades para Luiz se vestir, usando uma<br />de suas calças e uma de suas camisas. Podemos<br />colocar esses resultados numa tabela como esta:<br />Calça Camisa<br />Azul Branca<br />Azul Verde<br />Azul Laranja<br />Azul Vermelha<br />Preta Branca<br />Preta Verde<br />Preta Laranja<br />Preta Vermelha<br />Cinza Branca<br />Cinza Verde<br />Cinza Laranja<br />Cinza Vermelha<br />Nessa tabela, cada linha, a partir da segunda,<br />representa uma das 12 maneiras diferentes para<br />Luiz se vestir. Note, porém, que a pergunta<br />inicial era “De quantas maneiras diferentes Luiz<br />pode se vestir?”, e não “De que maneiras<br />diferentes Luiz pode se vestir?” Não<br />precisaríamos ter construído a tabela para obter o<br />número 12. Se cada uma das 3 calças pode ser<br />combinada com cada uma das 4 camisas, seria<br />suficiente multiplicarmos 3 por 4: 3 x 4 = 12.
Capítulo IX – Explorando situações numéricas<br />Assim, usando a multiplicação, encontramos<br />outra forma de contar, que pode ser generalizada<br />no Princípio Fundamental da Contagem:<br />Se uma ação pode ser realizada em<br />duas etapas, o número de<br />possibilidades de realização dessa ação<br />é obtido multiplicando-se o número de<br />possibilidades da primeira etapa pelo<br />número de possibilidades da segunda<br />etapa.<br />Resolvendo o Problema<br />Vamos complicar um pouco a escolha de Luiz<br />Carlos. Se, além das 3 calças e das 4 camisas, ele<br />possui 2 pares de sapatos e 5 pares de meias, de<br />quantas maneiras ele pode se vestir usando calça,<br />camisa, meia e sapato?<br />a) 12.<br />b) 24.<br />c) 60.<br />d) 120.<br />Estratégias que ajudam a<br />contar possibilidades<br />O método de contar “apontando o dedo” tem uma<br />séria limitação quando os objetos a serem<br />contados não existem, por serem apenas<br />possibilidades. Considere o seguinte problema:<br />João e Carlos disputam um torneio de tênis-demesa.<br />Vence o torneio o primeiro que ganhar dois<br />jogos seguidos, ou que ganhar três jogos. Quantos<br />são os resultados possíveis?<br />Poderíamos pensar assim: uma possibilidade é<br />que João ganhe os dois primeiros jogos. Outra é<br />que Carlos ganhe as duas primeiras. Uma terceira<br />é que João perca a primeira partida, e ganhe a<br />segunda e a terceira. Para registrar todas essas<br />possibilidades, sem esquecer nenhuma, utilizamos<br />um esquema denominado árvore de<br />possibilidades. Observe que existem 10 pontos<br />finais. Cada um deles corresponde a um resultado<br />possível: JJ, JCJJ, JCJCJ, JCJCC,JCC, CC, CJJ,<br />CJCJJ, CJCJC, CJCC.<br />J<br />C<br />J<br />C<br />C<br />Dois times de basquete, os Varapaus e os<br />Foguetes, disputam um torneio de basquete. O<br />primeiro que ganhar dois jogos seguidos, ou um<br />total de 4 jogos, vence o torneio. De quantas<br />maneiras o torneio pode se desenrolar?<br />J<br />J<br />C<br />J<br />C<br />J<br />C<br />J<br />C<br />J<br />C<br />J<br />C<br />4) 14.<br />3) Resposta (d).<br />203
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Matemática Livro do Estudante
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