Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Primtalsfaktorisering
Betrakta talet 520. Eftersom talet är jämnt så är det delbart med två och vi kan skriva
Även 260 är delbart med två och vi skriver
Återigen, 130 är jämt och vi får
Vi ser att fem är en positiv delare till 65 och
Vi har alltså visat att
520 = 2 · 260.
260 = 2 · 130.
130 = 2 · 65.
65 = 5 · 13.
520 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 = 2 3 · 5 · 13.
Lägg märke till att 2, 5 och 13 alla är primtal. Vi säger att vi har primtalsfaktoriserat 520. Primtalsfaktoriseringen
av ett positivt heltal är unikt. Detta visas i Aritmetikens fundamentalsats som
tas upp i högre kurser i algebra.
Primtalsfaktoriseringen av ett tal hjälper oss att ta fram delarna till talet som följande exempel
visar.
Exempel 1.17. Hur många positiva delare har talet 520?
Lösningsförslag: Enligt ovan gäller det att 520 = 2 3 · 5 · 13. Läsaren bör övertyga sig om att de
positiva delarna till talet är talen på formen 2 a · 5 b · 13 c , där 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 1 och 0 ≤ c ≤ 1.
Detta ger delarna
2 0 · 5 0 · 13 0 = 1, 2 0 · 5 0 · 13 1 = 13, 2 0 · 5 1 · 13 0 = 5, 2 0 · 5 1 · 13 1 = 65,
2 1 · 5 0 · 13 0 = 2, 2 1 · 5 0 · 13 1 = 26, 2 1 · 5 1 · 13 0 = 10, 2 1 · 5 1 · 13 1 = 130,
2 2 · 5 0 · 13 0 = 4, 2 2 · 5 0 · 13 1 = 52, 2 2 · 5 1 · 13 0 = 20, 2 2 · 5 1 · 13 1 = 260,
2 3 · 5 0 · 13 0 = 8, 2 3 · 5 0 · 13 1 = 104, 2 3 · 5 1 · 13 0 = 40 och 2 3 · 5 1 · 13 1 = 520.
Det finns alltså 16 positiva delare till 520.
Om man vill ta reda på om ett tal a är ett primtal så kan undersöka om a delas av primtalen
2, 3, 5, 7, 11, . . .. Har man gått igenom alla primtal som är mindre än a och inte funnit någon positiv
delare så vet man att a självt måste vara ett primtal. Men man behöver i själva verket inte testa
alla primtal fram till talet a utan det räcker att testa alla primtal som är mindre än √ a, där √ a är
ett tal vars kvadrat är lika med a. Kan du fundera ut varför det är så?
Exempel 1.18. Är 257 ett primtal?
Lösningsförslag: Vi börjar med att uppskatta hur stort √ 257 är. Eftersom 20 2 = 400 så gäller det
att √ 400 = 20. Alltså måste √ 257 vara mindre än 20. Vi har att 17 2 = 289, alltså måste √ 257 även
vara mindre än 17. Men 16 2 = 256, så √ 257 är större än 16. Primtalen som är mindre än 17 är
{2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Eftersom 257 är udda så kan det inte vara delbart med 2. Eftersom 257 = 3 · 85 + 2 lämnas
resten 2 vid division med tre och alltså kan det inte vara delbart med tre. Vi har att 5 · 51 + 2 = 257
, alltså är 257 inte heller delbart med fem. Det lämnas som en övning till läsaren att verifiera att
inte heller 7, 11 och 13 är delare till 257. Alltså är 257 ett primtal. ⋆
Observera att primtalsfaktoriseringen av ett primtal är primtalet självt.
10
⋆