Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Lösningsförslag: Punktmängden som hör till grafen till f(x) kan skrivas på formen {x, 2x+1} och
grafen till den inversa funktionens punktmängd blir {2x+1, x}. Genom substitutionen z = 2x+1
får vi x = (z − 1)/2 = z/2 − 1/2. Punktmängden {2x + 1, x} är alltså lika med punktmängden
{z, z/2−1/2}. och funktionen g(x) = x/2−1/2 är alltså den inversa funktionen till 2x+1. Graferna
är skissade i Figur 9. Vi kan kontrollera att g(x) är en invers funktion till f(x) genom att beräkna
den sammansatta funktionen f(g(x)) = 2g(x) + 1 = 2(x/2 − 1/2) + 1 = x. ⋆
3
2
1
3 2 1 1 2 3
1
2
3
Figur 9: Grafen till funktionen f(x) = 2x + 1 och dess invers f −1 (x) = x/2 − 1/2.
Däremot saknar funktionen f(x) = x 2 invers. För att se detta, antag att det finns en funktion
g så att g(f(x)) = x. Då ska det gälla att g(f(−1)) = −1 och att g(f(1)) = 1. Men f(−1) =
f(1) = 1 och alltså innebär det både att g(1) = −1 och att g(1) = 1. Men då är g ingen funktion,
eftersom 1 avbildas på två olika tal. I Figur 10 visas delar av punktmängderna {(a, a 2 ) | a ∈ R}
och {(a 2 , a) | a ∈ R}.
y axeln
3
2
1
x axeln
2 1 1 2 3
1
2
Figur 10: Den heldragna kurvan visar en del av punktmängden {(a, a 2 ) | a ∈ R}, det vill säga
grafen till funktionen f(x) = x 2 . Den streckade kurvan visar en del av punktmängden
{(a 2 , a) | a ∈ R}. Den streckade kurvan är inte grafen till någon funktion. Däremot är den del
som har mindre streck grafen till funktionen f(x) = √ x och den del som har långa streck är
grafen till funktionen f(x) = − √ x.
Om vi krymper definitionsmängden från hela R till R≥0 så har f(x) = x 2 en invers, nämligen
54