Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Permutationer
En permutation är ett ordnat urval av objekt. Vi kan se en permutation som en omordning av
föremål, exempelvis är acb en permutation av bokstäverna a, b och c. En permutation tar hänsyn
till i vilken ordning föremålen i urvalet kommer och varje föremål får endast vara med en gång.
Exempelvis är abc och bca olika permutationer av bokstäverna a, b och c. Så hur många permutationer
av bokstäverna a, b och c finns det? Vi kan välja den första bokstaven på tre sätt, när vi
har gjort detta val finns det två bokstäver kvar att välja bland. Vi kan välja en av dessa på två sätt
och slutligen kan den tredje bokstaven väljas på ett sätt. Alltså finns det 3 · 2 · 1 = 6 permutationer
av {a, b, c}, nämligen
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Vi har här använt multiplikationsprincipen med m1 = 3, m2 = 2, m1 = 1.
På samma sätt kan vi beräkna antalet sätt att ordna de 52 korten i en kortlek. Det kan vi göra
på 52 · 51 · 50 · . . . · 3 · 2 · 1 sätt. För att slippa skriva ut den långa produkten inför vi nu en ny
notation.
Defintion: För varje positivt heltal k inför vi beteckningen k! (k-fakultet) för talet
k · (k − 1) · · · 2 · 1.
Heltalet k! är alltså produkten av alla heltal mellan 1 och k. Vi definierar dessutom 0! = 1 av
praktiska skäl. I vårt kortleksexempel finns det alltså 52! sätt att ordna de 52 korten i en kortlek.
Exempel 2.22. Beräkna 5!
Lösningsförslag: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 ⋆
Exempel 2.23. Hur många olika ord kan man bilda av bokstäverna i LUS (alla bokstäverna ska ingå)?
Lösningsförslag: Vi använder multiplikationsprincipen. Den första bokstaven kan väljas på 3
sätt, den andra på 2 och den tredje på 1 sätt. Det följer att vi kan bilda 3 · 2 · 1 = 3! = 6 ord av
bokstäverna i LUS. De olika orden är:
LUS, LSU, SLU, SUL ,ULS, USL.
Exempel 2.24. På hur många sätt kan man bilda en kö av fyra personer?
Lösningsförslag: Frågan handlar om att ordna fyra personer. Det finns alltså 4! = 24 olika sätt att
göra detta på. ⋆
Man kan också tänka sig att man väljer ut en del av objekten att skapa permutationer av.
Exempel 2.25. På hur många sätt kan man måla en flagga med tre olika färger (som Frankrikes flagga)
om vi har tio färger att välja bland?
Lösningsförslag: Vi har tre områden att måla. Första området kan målas med tio färger, det andra
med en av de övriga nio och det sista området med åtta färger. Detta ger oss då totalt 10·9·8 = 720
olika flaggor. ⋆
Vi kan generalisera flaggexemplet och med hjälp av multiplikationsprincipen får vi att det
finns
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
sätt att ordna k objekt från n objekt.
Innan vi går in på kombinationer ska vi undersöka hur många ord vi kan bilda från en samling
bokstäver där vissa bokstäver upprepas.
39
⋆