Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Exempel 2.2. Polynomet (x 3 + x) · (x 2 + x + 1) har grad fem eftersom 3 + 2 = 5. Lås oss verifiera detta
genom att utföra beräkningen.
(x 3 + x) · (x 2 + x + 1) = x 3 · (x 2 + x + 1) + x · (x 2 + x + 1)
= x 5 + x 4 + x 3 + x 3 + x 2 + x = x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + x,
vilket mycket riktigt är ett polynom av grad fem.
Vad händer då med graden vid addition eller subtraktion av två polynom? Graden av summan
eller differensen av två polynom kan aldrig bli större än graden av det polynom som har
högst grad, men gradtalet kan i övrigt bli vad som helst. Vad gradtalet blir beror på hur koefficienterna
ser ut.
Om högstagradskoefficienterna till exempel tar ut varandra så sänks onekligen det resulterande
polynomets grad.
Exempel 2.3. Polynomet
har grad 5, polynomet
har grad 2 och polynomet
har grad 0.
Polynomekvationer
(5x 5 + 2x 2 + 1) + (8x 4 − 7x 3 − x) = 5x 5 + 8x 4 − 7x 3 + 2x 2 − x + 1
(5x 5 + 2x 2 + 1) + (−5x 5 + x 2 ) = 3x 2 + 1
(5x 5 + 2x 2 + 1) − (5x 5 + 2x 2 ) = 1
Om vi har ett polynom p(x) så är uttrycket p(x) = 0 en så kallad polynomekvation. När p(x) är
ett förstagradspolynom så säger vi att p(x) = 0 är en förstagradsekvation. Och när vi har ett andragradspolynom
q(x) så säger vi att q(x) = 0 är en andragradsekvation.
I allmänhet säger vi att en n:te-gradsekvation är en ekvation p(x) = 0, där p(x) är ett polynom
av grad n.
Vi har tidigare sett att en anledning till att införa de rationella talen är för att kunna lösa
förstagradsekvationen ax + b = 0, där a och b är heltal.
På samma sätt infördes de komplexa talen för att kunna lösa en godtycklig andragradsekvation
ax 2 + bx + c = 0. Som bekant har ju ekvationen x 2 + 1 = 0 inga reella lösningar, eftersom det
inte finns något reellt tal vars kvadrat är minus ett.
Observera skillnaden mellan begreppen polynom och ekvation. Ett polynom är ett algebraiskt
uttryck på formen anx n + · · · + a1x + a0. En ekvation har alltid ett vänster- och ett högerled
avdelat med ett likhetstecken. Polynomet 5x 2 + x + 1 är alltså inte en ekvation. Däremot är
5x 2 + x + 1 = 0 en ekvation, men inget polynom.
Lösningen till en andragradsekvation med reella koefficienter
Vi löser en andragradsekvation med reella koefficienter genom så kallad kvadratkomplettering. Lösningsmetoden
är ett exempel på en matematisk algoritm. Vi börjar med att betrakta ekvationen
x 2 − a = 0. (2.1.1)
Om a är skilt från noll finns det två tal som uppfyller ekvationen, nämligen √ a och − √ a eftersom
√ a 2 = a och (− √ a) 2 = a.
28