Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Potenser
För att lättare hantera uttryck av typen x · x · x har man infört potenser. Vi skriver
x · x · x = x 3 ,
där x är potensens bas och 3 är potensens exponent .
Potenser är ett kompakt skrivsätt och vi kan på mycket litet utrymme ge en övre gräns för
antalet elementarpartiklar i hela universum enligt modern fysik, nämligen 2 300 .
Kuriosa 1. Det finns en sägen som säger att när uppfinnaren av det schackliknande spelet Shaturanja
visade upp spelet för kungen av Indien blev denne så imponerad att han ville ge uppfinnaren en belöning.
Uppfinnaren sa då att han önskade sig ett vetekorn för den första rutan på schackbrädet, två vetekorn för
den andra rutan, fyra vetekorn för den tredje, åtta vetekorn för den fjärde, och så vidare. Kungen tyckte
att detta lät som en rimlig belöning och beviljade uppfinnarens önskning. Han insåg inte att summan
1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + · · · + 2 64 med råge översteg samtliga vetekorn i hela världen.
och att
Vi kan notera att
Allmänt gäller följande räkneregler:
Exempel 1.7. 2 4 · 2 5 = 2 4+5 = 2 9
Exempel 1.8. (2 4 ) 5 = 2 4·5 = 2 20
x 3 · x 4 = (x · x · x) · (x · x · x · x) = x
·
· · x
= x
sju gånger
7
(x 3 ) 2 = x 3 · x 3 = (x · x · x) · (x · x · x) = x 6 = x 3·2 .
x a · x b = x a+b
(x a ) b = x a·b
Exempel 1.9. 9 2 · 3 5 = (3 2 ) 2 · 3 5 = 3 2·2 · 3 5 = 3 4 · 3 5 = 3 4+5 = 3 9
Exempel 1.10. (−1) 4 = 1
Prioritetsreglerna
Att uttrycket 3 + 3 · 4 är lika med 15 och inte 24 ser nog många som självklart. Men anledningen
till detta är endast konventionell. Vi har bestämt att multiplikation och division har högre prioritet
än addition och subtraktion. Om det motsatta hade gällt så hade 3 + 3 · 4 varit lika med 6 · 4 = 24.
Prioritetsreglerna är följande:
1. Beräkna parenteser.
2. Beräkna potenser.
3. Beräkna multiplikation och division.
4. Beräkna addition och subtraktion.
Exempel 1.11. Förenkla uttrycket (−1) 3 + 3 · ((4 − 2 3 ) 2 − 5).
Lösningsförslag: Vi använder prioritetsreglerna och får
(−1) 3 + 3 · ((4 − 2 3 ) 2 − 5) = −1 + 3 · ((4 − 8) 2 − 5) = −1 + 3 · ((−4) 2 − 5) = −1 + 3 · (16 − 5)
7
= −1 + 3 · 11 = −1 + 33 = 32.
⋆