Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
20
15
10
5
Figur 47: f(x) =
sin x
x
på vardera sidor om x = 0
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figur 48: En funktion samt dess tangent i punkten (1, 5).
Lutningen på en rät linje mellan punkterna (a, b) och (c, d) ges som vi tidigare sett av d−b
c−a ,
så om vi i vårt fall låter punkternas x-koordinater vara x0 och x0 + h, så kommer linjen genom
punkterna (x0, f(x0)) och (x0 + h, f(x0 + h)) bli
f(x0 + h) − f(x0)
(x0 + h) − x0
= f(x0 + h) − f(x0)
.
h
När vi låter parametern h, som kan vara både negativ och positiv, närma sig 0, så kommer vi
att få lutningen på tangenten. Vi kan nu definiera derivatan av f(x), som betecknas f ′ (x).
f ′ f(x + h) − f(x)
(x) = lim
h→0 h
Genom att använda sig av gränsvärden så kan man härleda derivatan av olika funktioner,
något som du säkert minns från gymnasiet. Det finns också ett par allmänna regler för hur man
räknar med derivering som också härleds med hjälp av gränsvärden.
87