Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

4. Representerar −1/3 och 1 1
−6 / 2 samma rationella tal?
5. Låt s = − 1
3
, t = −1 , u = och bestäm
9 6 2
(a) s · t + u
(b) s s
/
t u
s − t
(c)
t − u
(d) (s − u) ·
1.7 Reella tal
t
u + t .
Om ett rationellt tal är ett tal som kan uttryckas som en kvot mellan två heltal, så är ett irrationellt
tal ett tal som inte kan uttryckas som en sådan kvot.
Att det finns tal som inte är rationella upptäcktes av Pythagoras (500-talet f kr). Du känner
säkert till Pythagoras sats för en rätvinklig triangel:
a 2 + b 2 = c 2
där a, b betecknar kateterna och c hypotenusan. Mer om rätvinkliga trianglar och Pythagoras sats
finns att läsa i kapitel 3. Om a = b = 1 så ger Pythagoras sats 1 2 + 1 2 = c 2 vilket ger oss c 2 = 2,
och då c betecknar en längd är den ett positivt tal, nämligen √ 2.
Detta tal kan inte uttryckas som en kvot av två heltal och √ 2 är alltså ett irrationellt tal. Ett
annat exempel på ett irrationellt tal är π som är ungefär lika med 3, 14.
Kuriosa 4. För att visa att √ 2 är irrationellt antar man att √ 2 kan skrivas som ett bråk, det vill säga
som a/b, där a och b är heltal. Man visar sedan att detta leder till en motsägelse. Detta bevis utfördes av
Aristoteles (300-talet f kr) och är ett utmärkt exempel på ett motsägelsebevis. Beviset är inte så komplicerat
och brukar ingå i högskolornas grundkurser i matematik.
De irrationella talen utgör tillsammans med de rationella talen de reella talen. De reella talen
utgörs av alla punkter på den så kallade reella tallinjen. Varje punkt på tallinjen svarar alltså mot
ett reellt tal. De reella talen betecknas med R. Som bekant betecknas de rationella talen med Q
men det finns ingen särskild beteckning för de irrationella talen. Då de utgörs av alla tal som är
reella men inte rationella så ligger de i mängden R \ Q. Du kan läsa mer om mängder i kapitel 3.
Även om de rationella talen ligger oändligt tätt längs tallinjen, så finns även ett oändligt antal
hål på tallinjen och det är dessa som utgörs av de irrationella talen. Att de rationella talen
ligger oändligt tätt ska tolkas som att det mellan två godtyckliga rationella tal alltid finns oändligt
många rationella tal! Men för att få med alla tal på tallinjen måste vi alltså ta med både de
rationella och de irrationella talen.
Mer om potenser
I heltalskapitlet stötte vi på potensbegreppet. Vi ska nu generalisera begreppet till de reella talen,
men vi måste vara lite försiktiga. Vi kommer att titta på två olika fall.
1. Basen är ett reellt tal och exponenten är ett heltal, till exempel (− √ 2) 2 eller 2 −3 .
2. Basen är ett positivt reellt tal och exponenten är ett rationellt tal, till exempel 4 1/2 eller
√ 2 −2/3 .
19