Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Lösningsförslag: Med g(x) = sin x och f(x) = x 4 så gäller det att f ′ (g(x)g ′ (x) = 4 sin 3 (x) · cos x.
Vi får
sin 3 x · cos x dx =
Exempel 4.25. Beräkna 1
0 xe−x2
dx.
f ′ (g(x)g ′ (x) dx
4
= f(g(x))
4
+ C = sin4 x
4
Lösningsförslag: Denna integral påminner om den ”omöjliga” integralen 1
0 e−x2
dx i Kuriosa
8. Men tack vare faktorn x framför e−x2 kan vi beräkna integralen. Eftersom D[x2 ] = 2x och
D[ex ] = ex , så är D[e−x2] = −2xe−x2. Vi behöver alltså endast kompensera med en faktor minus
två för att få
1
e −x2
dx = − ex2
1 = −
2
e−(12 ) 0 − e 2
=
2
1 − e−1
=
2
e − 1
2e .
Övningar
0
1. Bestäm alla primitiva funktioner till
(a) x + x 2
(b) 1/x + 1/x 2
(c) e 3x
(d) √ x + 1/ √ x
(e) e ax+b
2. Beräkna integralerna
(a) 1
0 x2 + 3 dx
(b) −2
0 e x − e dx
(c) 2
1 x3/2 · x dx
3. Finn en primitiv funktion till
(a) (1 + x) 15
(b) 4x 3 e x4
(c) (2 + x 2 ) 3 2x
(d) (2 + 5x 2 ) 8 x
Beräkna integralerna
(a) π/4
2 sin 0
2 x cos x dx
(b) 0
−1 3x2 · (x3 + 6) 4 dx
(c) 4
2
(d) 1
0
x
√ x 2 +1 dx
3x 2
(x 3 +1) 3/2 dx
0
100
+ C.
⋆
⋆