Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

Ibland kan det vara lätt att se att två bråk har en gemensam delare. I så fall kan vi utföra
förkortningen direkt. Låt oss därför titta på ett annat lösningsförslag.
Lösningsförslag 2: Vi ser att både 90 och 105 är delbara med 5, vi har nämligen att 90 = 5 · 18 och
105 = 5 · 21, så 90/105 = 18/21. Vi har att 18 = 3 · 6 och 21 = 3 · 7, alltså är 90/105 = 18/21 = 6/7.
⋆
Primtalsfaktorisering är beräkningstungt, och som tur är finns det en bättre metod för att avgöra
om ett bråk är maximalt förkortat. Denna metod heter Euklides algoritm och den gås normalt
igenom i högskolornas grundkurser.
Ibland skriver sneda bråkstreck och ibland raka. Men det är ingen skillnad i betydelse, alltså
gäller det att
a/b = a
b .
Addition, multiplikation och division av bråk
Vi adderar bråk genom att göra liknämnigt och skriva dem på gemensamt bråkstreck enligt
a c d · a b · c
+ = +
b d d · b b · d
ad + bc
= .
bd
Vi multiplicerar bråk genom att multiplicera täljare och nämnare för sig;
Division av bråk ges av
a c a · c
· =
b d b · d .
a
b
c
d
= a · d
b · c ,
vilket vi kan visa genom att multiplicera både täljare och nämnare med d/c. Detta ger oss
Exempel 1.34.
Lösningsförslag:
d a
·
c b
d c
·
c d
Skriv
=
d a
·
c b =
✁d
· ✁c
✁c ✁d
d a
·
c b
1
= a · d
b · c .
3 −4
+ på förkortad form.
4 5
3 −4 3 · 5 + 4 · (−4)
+ = =
4 5 4 · 5
−1 1
= −
20 20
När två nämnare har gemensamma faktorer kan vi uppnå liknämnighet genom att använda
mindre tal.
Exempel 1.35.
Skriv
1 3
+ på förkortad form.
6 14
16
⋆
⋆