Förberedande kurs i matematik - Stockholms universitet

2 Algebra, kombinatorik och logik
I det andra kaptilet börjar vi med att behandla polynom. Vi går noggrant igenom lösningsmetoder
för polynomekvationer av grad 2 och går sedan igenom divisionsalgoritmen och faktorsatsen för
polynom. Vi ger också en metod för att finna rationella rötter till en viss typ av polynomekvationer.
I kombinatorikdelen kommer läsaren att få bekanta sig med hur man löser problem av typen
”På hur många sätt...”. Kapitlet avslutas med lite logik.
2.1 Polynom och polynomekvationer
En förstagradsekvation eller en linjär ekvation är en ekvation som kan skrivas på formen ax + b = 0
där a och b är konstanter och a = 0. Ett sådant uttryck kallas för ett linjärt uttryck eftersom
variabeln x förekommer med högsta exponent ett.
En förstagradsekvation kan skrivas på många sätt. Till exempel är
4x − 2 = x + 7
en förstagradsekvation eftersom vi kan dra bort 7 från båda leden, få
4x − 9 = x
och sedan subtrahera x från båda leden för att få
3x − 9 = 0.
Lösningen till en förstagradsekvation ax + b = 0 är som vi tidigare sett x = −b/a vilket vi får
efter att ha flyttat över b till högersidan och sedan dividerat båda leden i ekvationen med a. Vi
säger att −b/a är en rot till ekvationen ax + b = 0.
Roten till ekvationen
3x − 9 = 0
är följdaktligen lika med 3.
Vi kan verifiera att detta svar är korrekt genom att sätta in x = 3 i den ursprungliga ekvationen.
Vänsterledet är 4x − 2 som blir 4 · 3 − 2 = 10, och högerledet blir 3 + 7 = 10 så lösningen
är korrekt. Denna kontroll kallas för insättning och bör alltid genomföras för att se att man räknat
rätt.
En andragradsekvation har den allmänna formen ax 2 + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter
och a = 0. På liknande sätt har en tredjegradsekvation den allmänna formen ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
där a, b, c och d är konstanter och a = 0. Innan vi generaliserar detta begrepp så introducerar vi
begreppet polynom.
Polynom
Ett polynom av grad n i en variabel x är ett uttryck på formen
p(x) = anx n + an−1x n−1 + an−2x n−2 + . . . + a2x 2 + a1x + a0,
där an = 0. Polynomets koefficienter är aj:na. Dessa är tal, de kan vara reella tal, komplexa tal eller
heltal — vilket man nu bestämmer sig för. Med polynomets grad avses alltså den högsta potensen
av x i uttrycket ovan.
Exempel 2.1. p(x) = 2x 5 − 1 är ett polynom med heltalskoefficienter av grad fem och p(x) = √ 2 är ett
polynom av grad noll med reella koefficienter.
Man kan givetvis döpa variabeln till något annat än x. Till exempel är p(t) = 2t 5 − 1 och
q(s) = 2s 5 − 1 båda polynom av grad fem.
Multiplicerar man ett polynom i x av grad n med ett annat annat polynom i x av grad m så
kommer det resulterande polynomet att ha grad m + n.
27